异步电动机正交坐标系上的动态模型

前面准备工作做好了，左边变换的思路已经有了。

坐标变换可以把三相原始模型简化，按照从特殊到一半，先推导静止两相正交坐标系 $α β$ ，然后推广到旋转正交坐标系 $d q$ ，运动方程和坐标系没有关系，因此就讨论电压方程、磁链方程、转矩方程。

静止两相坐标系下的动态模型

异步电动机定子绕组是静止的，只需要进行3/2变换，转子绕组是旋转的，需要通过3/2变换和旋转到静止的变化，才能变换到静止两相正交坐标系。

定子和转子的3/2变换

对定子三相绕组和旋转的转子三相绕组进行相同的3/2变换，变换后的定子两相正交坐标系 $α β$ 静止，而转子两相正交坐标系 $α^{'} β^{'}$ 以角速度 $ω$ 逆时针旋转

原始电压方程

[\begin{matrix} u_{A} \\ u_{B} \\ u_{C} \\ u_{a} \\ u_{b} \\ u_{c} \end{matrix}] = [\begin{matrix} R_{s} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & R_{s} & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & R_{s} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & R_{r} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & R_{r} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & R_{r} \end{matrix}] [\begin{matrix} i_{A} \\ i_{B} \\ i_{C} \\ i_{a} \\ i_{b} \\ i_{c} \end{matrix}] + \frac{d}{d t} [\begin{matrix} ψ_{A} \\ ψ_{B} \\ ψ_{C} \\ ψ_{a} \\ ψ_{b} \\ ψ_{c} \end{matrix}]

变换后的电压方程

[\begin{matrix} u_{s α} \\ u_{s β} \\ u_{r α^{'}} \\ u_{r β^{'}} \end{matrix}] = [\begin{matrix} R_{s} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & R_{s} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & R_{r} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & R_{r} \end{matrix}] [\begin{matrix} i_{s α} \\ i_{s β} \\ i_{r α^{'}} \\ i_{r β^{'}} \end{matrix}] + \frac{d}{d t} [\begin{matrix} ψ_{s α} \\ ψ_{s β} \\ ψ_{r α^{'}} \\ ψ_{r β^{'}} \end{matrix}]

原始磁链方程

[\begin{matrix} Ψ_{A} \\ Ψ_{B} \\ Ψ_{C} \\ Ψ_{a} \\ Ψ_{b} \\ Ψ_{c} \end{matrix}] = [\begin{matrix} L_{A A} & L_{A B} & L_{A C} & L_{A a} & L_{A b} & L_{A c} \\ L_{B A} & L_{B B} & L_{B C} & L_{B a} & L_{B b} & L_{B c} \\ L_{C A} & L_{C B} & L_{C C} & L_{C a} & L_{C b} & L_{C c} \\ L_{a A} & L_{a B} & L_{a C} & L_{a a} & L_{a b} & L_{a c} \\ L_{b A} & L_{b B} & L_{b C} & L_{b a} & L_{b b} & L_{b c} \\ L_{c A} & L_{c B} & L_{c C} & L_{c a} & L_{c b} & L_{c c} \end{matrix}] [\begin{matrix} i_{A} \\ i_{B} \\ i_{C} \\ i_{a} \\ i_{b} \\ i_{c} \end{matrix}]

变换后磁链方程

[\begin{matrix} ψ_{s α} \\ ψ_{s β} \\ ψ_{r α^{'}} \\ ψ_{r β^{'}} \end{matrix}] = [\begin{matrix} L_{s} & 0 & L_{m} \cos θ & - L_{m} \sin θ \\ 0 & L_{s} & L_{m} \sin θ & L_{m} \cos θ \\ L_{m} \cos θ & L_{m} \sin θ & L_{r} & 0 \\ - L_{m} \sin θ & L_{m} \cos θ & 0 & L_{r} \end{matrix}] [\begin{matrix} i_{s α} \\ i_{s β} \\ i_{r α^{'}} \\ i_{r β^{'}} \end{matrix}]

变换后的转矩方程：

T_{e} = - n_{p} L_{m} [(i_{s α} i_{r α^{'}} + i_{s β} i_{r β^{'}}) \sin θ + (i_{s α} i_{r β^{'}} - i_{s β} i_{r α^{'}}) \cos θ]

3/2变换把120°分布的三相绕组等效为互相垂直的两相绕组，消除了定子三相绕组之间、转子三相绕组之间的耦合。但是定子绕组和转子绕组之间仍然存在相对运动，因此互感矩阵仍然是一个变参数的非线性矩阵，输出转矩仍然是定转子电流及家教的函数。

3/2变换减少了状态变量的维数，简化了定子和转子的自感矩阵。

静止两相正交坐标系中的矩阵方程

对转子坐标系 $α^{'} β^{'}$ 做旋转变换（旋转正交坐标系到静止两相正交坐标系的变换），即将 $α^{'} β^{'}$ 坐标系顺时针旋转 $θ$ ，是其与定子 $α β$ 重合，且保持静止，用静止的两相转子绕组等效代替转动两相绕组。

旋转变换矩阵为

C_{2 r / 2 s} (θ) = [\begin{matrix} \cos θ & - \sin θ \\ \sin θ & \cos θ \end{matrix}]

变换后的电压方程为

[\begin{matrix} u_{s α} \\ u_{s β} \\ u_{r α} \\ u_{r β} \end{matrix}] = [\begin{matrix} R_{s} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & R_{s} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & R_{r} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & R_{r} \end{matrix}] [\begin{matrix} i_{s α} \\ i_{s β} \\ i_{r α} \\ i_{r β} \end{matrix}] + \frac{d}{d t} [\begin{matrix} ψ_{s α} \\ ψ_{s β} \\ ψ_{r α} \\ ψ_{r β} \end{matrix}] + [\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ ω ψ_{r β} \\ - ω ψ_{r α} \end{matrix}]

磁链方程

[\begin{matrix} ψ_{s α} \\ ψ_{s β} \\ ψ_{r α} \\ ψ_{r β} \end{matrix}] = [\begin{matrix} L_{s} & 0 & L_{m} & 0 \\ 0 & L_{s} & 0 & L_{m} \\ L_{m} & 0 & L_{r} & 0 \\ 0 & L_{m} & 0 & L_{r} \end{matrix}] [\begin{matrix} i_{s α} \\ i_{s β} \\ i_{r α} \\ i_{r β} \end{matrix}]

转矩方程：

T_{e} = n_{p} L_{m} (i_{s β} i_{r α} - i_{s α} i_{r β})

旋转变换改变了定转子之间的耦合关系，消除了定转子绕组夹角对磁链和转矩的影响。

磁链方程是线性定常的方程，但是电压方程中引入了新的非线性因素，还没有改变非线性耦合的性质。

旋转正交坐标系中的动态数学模型

前面是将相对于定子旋转的转子坐标系 $α^{'} β^{'}$ 做旋转变换，得到了统一的坐标系 $α^{'} β^{'}$ ，这是旋转变换的一个特例。更广义的坐标旋转变换时对定子坐标系 $α β$ 和转子坐标系同时进行旋转变换，把他们变换到同一个旋转正交坐标系 $d q$ 上， $d q$ 坐标系相对于定子的旋转角速度为 $ω_{1}$ 。

定子的变换矩阵为

C_{2 s / 2 r} (φ) = [\begin{matrix} \cos φ & \sin φ \\ - \sin φ & \cos φ \end{matrix}]

转子的变换矩阵为

C_{2 s / 2 r} (φ - θ) = [\begin{matrix} \cos (φ - θ) & \sin (φ - θ) \\ - \sin (φ - θ) & \cos (φ - θ) \end{matrix}]

在 $d q$ 坐标系的电压方程为

[\begin{matrix} u_{s d} \\ u_{s q} \\ u_{r d} \\ u_{r q} \end{matrix}] = [\begin{matrix} R_{s} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & R_{s} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & R_{r} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & R_{r} \end{matrix}] [\begin{matrix} i_{s d} \\ i_{s q} \\ i_{r d} \\ i_{r q} \end{matrix}] + \frac{d}{d t} [\begin{matrix} ψ_{s d} \\ ψ_{s q} \\ ψ_{r d} \\ ψ_{r q} \end{matrix}] + [\begin{matrix} - ω_{1} ψ_{s q} \\ ω_{1} ψ_{s d} \\ - (ω_{1} - ω) ψ_{r q} \\ (ω_{1} - ω) ψ_{r q} \end{matrix}]

磁链方程

[\begin{matrix} ψ_{s d} \\ ψ_{s q} \\ ψ_{r d} \\ ψ_{r q} \end{matrix}] = [\begin{matrix} L_{s} & 0 & L_{m} & 0 \\ 0 & L_{s} & 0 & L_{m} \\ L_{m} & 0 & L_{r} & 0 \\ 0 & L_{m} & 0 & L_{r} \end{matrix}] [\begin{matrix} i_{s d} \\ i_{s q} \\ i_{r d} \\ i_{r q} \end{matrix}]

转矩方程为

T_{e} = n_{p} L_{m} (i_{s q} i_{r d} - i_{s d} i_{r q})

旋转变换用旋转绕组代替原来静止的定子绕组，并使等效定子绕组和等效转子绕组重合，并且严格同步，等效后定转子绕组不存在相对运动，所以dq坐标系中的磁链方程和转矩方程与 $α β$ 坐标系中一样，但是电压方程的非线性耦合更严重了。

表面上看dq坐标系的数学模型还不如 $α β$ 的，但是其优点是增加了一个输入量 $ω_{1}$ ，为系统控制提供了可能性。磁场定向控制就是通过选择 $ω_{1}$ 实现的。

旋转速度任意的正交坐标系无实际实用意义，常用的是同步旋转坐标系，将绕组中的交流量变为直流量，模拟直流电动机进行控制。

状态方程

经典控制理论里对于单入单出可以使用传递函数来描述一个系统，前面直流电机控制是基于传递函数在分析。对于交流电机，需要使用现代一点的控制理论了，需要基于状态空间的控制系统分析和设计。首先要已经上述微分和代数方程写处状态空间表达式。

写状态空间表达式的第一个问题是状态变量的选取。旋转正交坐标系( $d q$ 坐标系)上的异步电机有四阶电压方程和一阶运动方程，因此需要选择5个状态变量来描述系统。

可选的状态变量有9个，分为五种：

1.转速 $ω$
2.定子电流 $i_{s d}$ 和 $i_{s q}$
3.转子电流 $i_{r d}$ 和 $i_{r q}$
4.转子磁链 $ψ_{s d}$ 和 $ψ_{s q}$
5.定子磁链 $ψ_{r d}$ 和 $ψ_{r q}$

转速作为输出量必须得选，定子电流可以直接检测到也选。剩下的三组检测就很困难，考虑到磁通恒定一直是我们控制电机很关心的问题，可以在定子磁链和转子磁链任选一组。

这样状态变量的选取就有两种方式

X = [\begin{matrix} ω \\ ψ_{r d} \\ ψ_{r q} \\ i_{s d} \\ i_{s q} \end{matrix}]

或者

X = [\begin{matrix} ω \\ ψ_{s d} \\ ψ_{s q} \\ i_{s d} \\ i_{s q} \end{matrix}]

以 $ω, i_{s}, ψ_{r}$ 为状态变量

状态变量

X = [\begin{matrix} ω \\ ψ_{r d} \\ ψ_{r q} \\ i_{s d} \\ i_{s q} \end{matrix}]

输入变量

U = [\begin{matrix} u_{s d} \\ u_{s q} \\ ω_{1} \\ T_{L} \end{matrix}]

输出变量

Y = [\begin{matrix} ω \\ ψ_{r} \end{matrix}]

经过一系列的操作，整理以后的状态方程为

\begin{array}{l} \frac{d ω}{d t} = \frac{n_{p}^{2} L_{m}}{J L_{r}} (i_{sq} ψ_{rd} - i_{sd} ψ_{rq}) - \frac{n_{p}}{J} T_{L} \\ \frac{d ψ_{rd}}{d t} = - \frac{1}{T_{r}} ψ_{rd} + (ω_{1} - ω) ψ_{rq} + \frac{L_{m}}{T_{r}} i_{sd} \\ \frac{d ψ_{rq}}{d t} = - \frac{1}{T_{r}} ψ_{rq} - (ω_{1} - ω) ψ_{rd} + \frac{L_{m}}{T_{r}} i_{sq} \\ \frac{d i_{sd}}{d t} = \frac{L_{m}}{σ L_{s} L_{r} T_{r}} ψ_{rd} + \frac{L_{m}}{σ L_{s} L_{r}} ω ψ_{rq} - \frac{R_{s} L_{r}^{2} + R_{r} L_{m}^{2}}{σ L_{s} L_{r}^{2}} i_{sd} + ω_{1} i_{sq} + \frac{u_{sd}}{σ L_{s}} \\ \frac{d i_{sq}}{d t} = \frac{L_{m}}{σ L_{s} L_{r} T_{r}} ψ_{rq} - \frac{L_{m}}{σ L_{s} L_{r}} ω ψ_{rd} - \frac{R_{s} L_{r}^{2} + R_{r} L_{m}^{2}}{σ L_{s} L_{r}^{2}} i_{sq} - ω_{1} i_{sd} + \frac{u_{sq}}{σ L_{s}} \end{array}}

其中，电动机漏磁系数 $σ = 1 - \frac{L_{m}^{2}}{L_{s} L_{r}}$ ，转子电磁时间常数 $T_{r} = \frac{L_{r}}{R_{r}}$

输出方程

Y = [\begin{matrix} ω \\ \sqrt{ψ_{r d}^{2} + ψ_{r q}^{2}} \end{matrix}]

以 $ω, i_{s}, ψ_{s}$ 为状态变量