Positon, Orientation and Frams

Positon

位置使用位置向量来描述

\[^A P = \left [ \begin{array}{} P_x \\ P_y \\ P_z \\ 1 \end{array} \right ]\]

最后这个 1 可以认为是个缩放系数。

Orientation

姿态用一个矩阵来描述。姿态有三个自由度，但是一个矩阵有 9 个数字。说明矩阵有约束条件，向量长度为 1，向量两两垂直，我们一定可以找到 6 个约束条件。一定要匹配上。

如坐标系 \(\{ A \}\) 为参考坐标系，坐标系 \(\{ B \}\) 固定在夹手上。用旋转矩阵就可以描述这种相对关系。

\[^A_B R = \left [ \begin{array}{} ^A \hat{X}_B & ^A \hat{Y}_B & ^A \hat{Z}_B \end{array} \right ]\]

即矩阵 B 的基向量在矩阵 A 中的坐标。

旋转矩阵有个非常好的性质，取逆。

\[^A_B R^T = ^B_A R\]

Frams

所以要描述一个完整的坐标系统 \(\{ B \}\)，参考坐标系统为 \(\{ A \}\)，可以这么写

\[\{ B \} = \{ ^A_B R , ^A P_{B\_origin} \}\]