Mapping between Frames

从一个坐标系到另一个坐标系的变换用映射来描述。

运动包含平移和旋转。

坐标平移

\[^A P = \ ^B P + \ ^A P_{B\_origin}\]

坐标旋转

\[^A P = \ ^A_B R \ ^B P\]

一般变换

\[^A P = \ ^A_B R \ ^B P + \ ^A P_{B\_origin}\]

先将 B 坐标系里的点变换到和 A 坐标系姿态相同，然后在进行远点平移。

写成矩阵形式

\[\left [ \begin{array}{} ^A P \\ 1 \end{array} \right] = \ \left [ \begin{array}{} \ ^A_B R & \ ^A P_{B\_origin} \\ \boldsymbol{0} & 1 \end{array} \right] \left [ \begin{array}{} ^B P \\ 1 \end{array} \right]\]

这就扩展成了一个 4*4 的矩阵了，这个矩阵方程的更简洁表达 \(^A P = \ ^A_B T \ ^B P\)

这里这个矩阵就是齐次变换矩阵。