向量与空间基础
前言
本科我学线性代数学的稀碎。书嘛挺薄一本，最后考试做题好像背两道题也过了，但是现在感觉当时我连线性代数的门都没入，只是学了一些数字运算的技巧，背了两道现在已经忘了的题。
线性代数为啥不好学呢？我感觉是因为这门课是对一个具体东西的高度抽象，老师的水平肯定是很高的，他想让我们从高级抽象的角度去理解这些知识，学完以后一下子空间、级数展开的多项式空间、常微分方程的解空间、甚至控制系统的状态空间全都一通百通。
然而老师看得起我们，高估我们的水平了。😂。初学的时候就连最普通的空间都不理解…这个就比较僵硬，最后为了应付考试，不得不又学成了一门做题课。当然这其中主要还是自己的原因。
对于这一部分内容，高中数学人教版选修4-2这本书上居然有讲，我不知道哪些地区会在高中选这本书，如果通过高中这本教材入门，我觉得大学的线性代数课学起来会轻松不少。
人教版数学课本的展开逻辑就相当不错，我参考这本高中教材和3B1B的《线性代数的本质》来整理线性代数的知识。
先从普通空间出发，把学习过程可以具体化比较容易理解的图形变换。再抽象到大学教材的线性代数。抽象总是难以思考的，普适的代价是抽象，教科书上都是相当严谨的普适结论。回到教科书实际上是一次认识的巨大飞跃，已经从具体到抽象发生质变了。然后再从抽象到具体的各种应用数学提出各种奇怪的空间，他们只要满足八条公理，那就直接就能调用线性代数中的各种理论了。
有点计算机思维，线性代数是一个类，实例化的对象是三维空间、级数展开的多项式空间、常微分方程的解空间、控制系统的状态空间…。一上来学类的方法是很严谨的，但是不好理解。所以从一个实例化对象三维空间入手就很好理解了。
向量与空间，线性组合
向量的几何理解是空间中的有向箭头，数学上表示为有序数组（n维向量）。
有两个比较特殊的向量\(\boldsymbol{i} = [1,0]^T\)，\(\boldsymbol{j} = [0,1]^T\)。 描述一个任意向量如\(\boldsymbol{\alpha}=[3,2]^T\)，有序数组\(\boldsymbol{\alpha}\)中的数字（标量）对应缩放\(\boldsymbol{i}\)和\(\boldsymbol{j}\)后相加。即
\[\boldsymbol{\alpha} = 3\boldsymbol{i} + 2\boldsymbol{j} = \boldsymbol{[i,j]} \begin{bmatrix} 3 \\ 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 3 \\ 2 \end{bmatrix} = \boldsymbol{E\cdot\alpha}\]也就是\(\boldsymbol{\alpha} = \boldsymbol{E\cdot\alpha}\)这个式子默认了向量\(\boldsymbol{\alpha}\)单独出现的时候，其坐标是对于坐标系\(\boldsymbol{E}\)而言的，这是个很重要的思路，在坐标变换、后面的矩阵对角化用会强化这个角度的思考。
其中\(3\boldsymbol{i} + 2\boldsymbol{j}\)为一个线性组合。\(\boldsymbol{\alpha}\)由\(\boldsymbol{i}\)和\(\boldsymbol{j}\)线性表出。一般情况下\(\boldsymbol{\alpha}\)中两个标量任意变化，所有可能得到的向量会到达平面中每一个点，但是当初始选的两个（基）向量共线时，所产生的向量只能在一条线上变化，共线向量线性相关。由\(\boldsymbol{i}\)和\(\boldsymbol{j}\)表示的所有向量的集合称为张成（span）的空间，线性相关的向量组中至少有一个没有为张成的空间做出贡献。
张成的空间另一种表述：仅仅通过数乘和加法，能由给定向量获得的空间是什么。
向量
向量是什么？在研究线性代数前，这个事情需要达成共识。数学表示就是这么个表示，但是要学会用不同的观点来看待。即立场。所有的立场都要掌握。
三种观点：
- 空间箭头，直观感受，二维三维来理解
- 有序数字列表，统计学
- 可以是任何东西，只要向量相加以及数字与向量乘积有意义（非常抽象的观点）
第三个观点，即向量加法与向量数乘贯穿整个线性代数。注意这两个运算，有很重要的作用。
但是在初次学习时，不妨就使用平面几何来理解线性代数。所以我们要有向量的基本刻画方式，即笛卡尔坐标系，以及向量的坐标。
有了向量的表示，还有个事情是向量的加法，需要指定规则，即三角形法则。还有数字乘向量，对向量的缩放。
线性代数围绕这两种运算展开。最后的最后，我们再研究为何是这两种运算。
向量组合成的空间与基
两个特殊的向量，单位向量ij。
把一个普通向量的每个坐标看作是一个拉伸系数。缩放参考向量然后相加，这个概念也很重要。
参考向量，合起来称为坐标系的基。
笛卡尔直角坐标系的基向量是最特殊的，事实上，完全可以随便找两个基向量，获得一个合理的新坐标系。通过缩放和相加，可以得到所有的二维平面。
当我们用一对数描述一个向量时，是依赖基的选取的。
线性组合的概念在这里提出来。直线并不是线性的根源，但是是一种直观感觉。
当两个向量恰好共线时，无论怎么组合，都活动范围都被限制在了一条直线上。
张成的空间，向量的全部线性组合。
三维空间的两个向量张成的空间的例子。
再加上一个向量，就能张成整个三维空间了。如果很不幸第三个向量落在了这个平面内，那多出来的这个向量并没有让空间变得更立体。
这些比较特殊的情况，需要用更简单的语言来描述。
线性相关，线性无关，线性表示
