初等积分法

用有限次求积分就可以解出来的的微分方程，属于是比较基础的，容易找到解析解。在高等数学课程里面会有简单介绍。

这类方程求解和方程类型有关，最终都会搞到一阶，用积分积出来。

变量分离方程

\[y' = f(x)g(y)\]

那么很容易可以分离开

\[\int \frac{dy}{g(y)} = \int f(x)dx\]

这种情况下，要求\(g(y) \neq 0\)，找出通解也要回头看看这个=0会有什么情况，能不能合并到通解里去。

在高数的范围里不找奇解问题不大，找通解。但是在微分方程理论里，有些会专门去研究奇解的问题

还有一类

\[y' = f(ax+by+c)\]

可以令\(u = ax + by + c\)

则\(u' = a + by'\)

齐次方程

如果微分方程 \(P(x,y)dx + Q(x,y)dy = 0\)

可以写成

\[\frac{dy}{dx} = \varphi(\frac{y}{x})\]

这个形式的方程叫作齐次方程，解法是令\(u = \frac{y}{x}\)，那么\(y=ux\)，则\(y' = u + xu'\)

一阶线性方程

一阶非齐次线性方程

\[y' + p(x)y = q(x)\]

对应的齐次方程

\[y' + p(x)y = 0\]

对于下面这个分离变量就能求解。

上面这个用点小技巧\((uv)' = u'v+uv'\)，一个东西求导后有自己还又剩下一堆东西，显然是\(e^x\)，所以两边同乘\(e^{\int p dx}\)，还原以后再积分。

非齐次通解为

\[y = e^{-\int p\mathrm{d}x} \left[ \int e^{\int p\mathrm{d}x} \cdot q \mathrm{d} x + C \right]\]

虽然可以硬推，但是记一下也很快的，记住这个思路，其实脑子里过一下也直接能写出来。

一个小例子

\[y' + 1 = e^{-y}\sin x\]

乍一看不是任何类型，但是呢

\[e_y y' + e^y = = (e^y)' + e^y = \sin x\]

这不熟练到一定程度一下子还真不好处理。

Bernoulli方程

\[y' + p(x)y = q(x)y^n\]

搞成熟悉的形式先

\[y^{-n} \cdot y' + py^{1-n} = q\]

思路还是往一阶上靠 \(z = y^{1-n}\)，则\(z' = (1-n)y^{-n} \cdot y'\)

这就整好了

\[(1-n) \cdot z' + pz = q\]

举例子

\[y \mathrm{d}x = (1+x\ln x)x\mathrm d y\]

可降阶、隐式

\[f(x,y',y'') = 0\]

令\(y' = p\)，降阶，自变量是x

\[f(y,y',y'') = 0\]

令\(y' = p\)，把y作为自变量

这两个实际上本质就是标题，用个小方法降阶。降阶思路在高阶里也有这个思想。