描述函数法

这也是个很有工程特点的精确的分析个大概的方法。

总的来说是基于频率分析的。

核心思想是，正弦信号作于于非线性环节的输出用一次谐波来近似。

用这个思想就可以得到非线性环节的频率特性，这就是描述函数，这时候非线性已经用一个线性系统代替了。可以使用各种频率分析方法进行分析，用于分析稳定性和自振，无法给出确切的时间响应。

描述函数

描述函数用来近似描述非线性环节的频率特性。

描述函数的功能和系统的频率特性是一样的。

如果一个非线性环节输入输出关系为$y=f(x)$，输入$x(t)=A\sin \omega t$

这时候有个乱七八糟的输出，不过没关系，谐波分析一下，展开

$$\begin{gathered} y(t)=\frac{a_0}{2}+\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(a_n\cos n\omega t+b_n\sin n\omega t) \\ =\frac{a_0}{2}+\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{Y}_n\sin (n\omega t+{\phi }_n) \end{gathered}$$

这是个精确的等于，接下来就是工程上分析个差不多就行的思想了。$n>1$时，高次谐波幅值都不大，就不管了，算个大概，工程嘛，大差不差就那么回事。

如果输出是奇函数，那么直流分量就是0，只要一次分量，可以认为

$$y(t)\approx y_1(t)=a_1\cos \omega t+b_1\sin \omega t=Y_1\sin (\omega t+{\phi }_1)$$

描述函数定义为

$$N(A)=\frac{Y_1}{A}\mathrm{\angle }{\phi }_1$$

实际上就是频率特性的定义，幅值比+相角差。这时候线性环节已经被我们线性化了，可以用各种频域手段如奈奎斯特等判断系统的稳定性了。

举个例子，理想继电特性

输出来的这个方波为

$$y=\begin{array}{}\{\begin{array}{rl}-1& ,x\in (-0.5,0)\\ 1& ,x\in (0,0.5)\end{array}\end{array}$$

这时候就要算基波了。

奇函数，有直流分量为0，余弦分量为0，

$$b_1=2{\int }_{-0.5}^0-\sin \omega tdt+2{\int }_0^{0.5}\sin \omega tdt=\frac{2}{\pi }$$

则

$$f(t)=\frac{2}{\pi }\sin \omega t=\frac{2}{\pi }\mathrm{\angle }0°$$

那么这个描述函数就定义为

$$N(A)=\frac{\frac{2}{\pi }\mathrm{\angle }0°}{A}=\frac{2}{\pi A}\mathrm{\angle }0°$$

典型环节的描述函数

这个可以数学推导，但是输公式太麻烦了。

核心是去理解傅里叶变换，用频谱分析的手段去处理信号，找出基波。

非线性类型	静特性	$N(A)$
理想继电特性		$N(A)=\frac{4M}{\pi A}$
死区继电特性		$N(A)=\frac{4M}{\pi A}\sqrt{1-{\left(\frac{h}{A}\right)}^2}$
滞环继电特性		$N(A)=\frac{4M}{\pi A}\sqrt{1-{\left(\frac{h}{A}\right)}^2}-j\frac{4Mh}{\pi A^2}$
饱和限幅特性		$N(A)=\frac{4M}{\pi A}\sqrt{1-{\left(\frac{h}{A}\right)}^2}-j\frac{4Mh}{\pi A^2}$

定义这个干啥呢？接着往下说

描述函数分析系统稳定性

再次指出描述函数是分析系统零输入下稳定性和自振的，不能给出时域响应。

$G(s)$的极点都在左半平面，即最小相角系统，那么闭环系统的"频率特性"为

$$\mathrm{\Phi }(j\omega )=\frac{N(A)G(j\omega )}{1+N(A)G(j\omega )}$$

闭环系统的特征式为

$$\mathrm{\Delta }=1+N(A)G(j\omega )=0$$

换一下形式

$$N(A)G(j\omega )=-1$$

如果都是线性的话，在频域法里面判定这个系统的稳定性，是画出$N(A)G(j\omega )$的幅相曲线看看是否包围-1j0，如果包围那么就不稳定。

现在的问题是N(A)和\omega无关，是A的函数，为了描述的方便变一下形式

$$G(j\omega )=-\frac{1}{N(A)}$$

我们把右边这个认为是广义的$(-1,j0)$点，这个想法太狠了。

如果把广义点包进去了，就不稳定。现在想想为啥用类似于频率特性的概念来定义非线性的描述函数，就是为了用频率特性分析的一些东西。

这个广义的这个东西，围起来不稳定，不围起来稳定，有交点，可以分析运动方向，看看是不是自振。

在交点$G(j\omega )=-\frac{1}{N(A)}$是成立的，x通过$N(A)G(j\omega )$后，模值没变，反相了，然而整个系统是负反馈啊，这就是自己满足自己了。如果稳定的话，这就是自振。

通过交点方程，可以算出自振幅值和频率。

这个广义的点首先是个点，他是会动的，画出来的线是运动可以到达的位置，A是输入的幅值。系统不稳定的意思是系统输出的幅值（实际上就是反相就是输入）越来越大，稳定的意思是输出的幅值变小，结合稳不稳导致与非线性环节的输出变化以及相信环节的幅相曲线，可以分析系统的稳定与自振情况。也就是说自振不一定稳定，还要具体分析。

对应于线性系统临界稳定的正弦波，非线性系统的临界稳定就是自振。

举个很理论的例子

如果知道了这个系统输出量c的自振振幅为$A=0.1$，自振频率$\omega =10$

首先，这种不好分析，调整一下结构

非线性环节的描述函数为

$$N(A)=\frac{4\sqrt{2}}{\pi A}$$

线性部分的传递函数为$G(s)=\frac{10K}{s(Ts+1)(0.1s+1)}$

画出来这两个曲线

根据图就可以定性分析是否有稳定的自振点了。这个系统一定会自振，不管初始条件的大小。

然后定量计算，因为最后稳定在交点上，所以一定满足自振条件

$$N(A)G(j\omega )=-1$$ $$N(A)G(j\omega )=\frac{10K}{j\omega (j\omega T+1)(j0.1\omega +1)}=-1$$

复数方程，写开来实部虚部分别列方程计算就可以了。

下面就是运算的问题了。

最后用算出来的结果仿真一下，搭建一个仿真

这个东西因为是三阶的，所以可以在相空间离画出来相轨迹，稳定自振点是一个极限壳。对照二维极限环稳不稳的分析方法。

可以看出，果然是近似分析，虽然和实际有差距，但是已经很接近了。如果真要利用这个特性去搞一个比如说信号发生器，那么接下来就是调的事情了。

再举个例子，设计一个我需要的信号发生器

$$\omega =1,A=4$$

非线性环节的描述函数为

$$N(A)=\frac{4\sqrt{2}}{\pi A}$$

线性部分的传递函数为$G(s)=\frac{K{e}^{-\tau s}}{s(s+1)(s+2)}$

理想继电特性M=

调整K和\tau去调整信号的周期和幅值，总是能找到一个符合要求信号参数的组合的。

复杂系统和复杂非线性环节的处理

除了等效变换，还有个思路

决定系统稳定性的是闭环传递函数的特征方程。

那么暂且把非线性看作是线性的一个传递函数。用梅森增益公式，一下子就能找到传递函数，最重要的是找到了特征方程。

有点类似于等效开环传函，可以用数学手段化成N(A)G(s) = -1的形式，这就直接有了。

要注意的是，等效后的输出和原系统的输出会有一点点小差别，输入也不是原来的输入口了，但是整个系统不管在哪里频率都是一样的，那么原输出口的幅值其实也可以经过简单的频率特性算出来的。

对于复杂非线性环节的处理

两个非线性环节串联到一起。

把两个环节函数写出来，定义域值域写到一起，合成一个环节。数学上的手段，两个分段函数复合。