1.2 基与坐标、坐标变换

基、坐标

定义有限维线性空间，基，坐标

若 \(V\) 是域 \(\mathbb{F}\) 上的线性空间，如果有正整数 \(n\) ，及 \(V\) 中的向量组 \(\alpha_1, \cdots, \alpha_n\) 使得

• 向量组 \({\alpha_i}\) 线性无关
• (生成性) \(\forall \alpha \in V\) 均可由 \(\{ \alpha_i \}\) 线性表示 \(\alpha = \alpha_1 k_1 + \cdots + \alpha_n k_n = \left [ \begin{array}{} \alpha_1 & \cdots & \alpha_n \end{array} \right] \left [ \begin{array}{} k_1 \\ \vdots \\ k_n \end{array} \right]\)

就称 \(V\) 是有限维 \(n\) 维线性空间， \(\{ \alpha_i \}\) 称为 \(V\) 的一个基(坐标系)。系数拼成的列向量 \(\left [ \begin{array} {} k_1 \\ k_2 \\ \vdots \\ k_n \end{array} \right ] \in \mathbb{F}^n\) 这个东西称为 \(\alpha \in V\) 沿着该基的坐标向量

这是个很重要的思维模式

\[\left [ \begin{array} {} 抽 \\ 象 \\ 向 \\ 量 \end{array} \right ] = \left [ \begin{array} {} \\ 基 & 矩 & 阵 \\ & \end{array} \right ] \left [ \begin{array} {} 坐 \\ 标 \\ 向 \\ 量 \end{array} \right ]\]

抽象事物，选定坐标系，就变成了具体事物；反过来具体事物，通过坐标系这种框架可以用线性空间的观点来观察。

\[\left [ \begin{array} {} \\ 基 & 矩 & 阵 \\ & \end{array} \right ] = \left [ \begin{array} {} 基 & 基 & & 基 \\ 向 & 向 & \cdots & 向 \\ 量 & 量 & & 量 \\ 1 & 2 & & n \\ \end{array} \right ]\]

命题，维数的唯一性。

定理基(坐标系)实现了抽象线性空间到标准线性空间的一一对应。

一个映射如果是一一映射，那么就是同构映射。

一一对应，就像是一栋楼里锁和钥匙的关系。在一些性质上保持一致。

笛卡尔就是把几何问题翻译成代数问题，在一些性质上也保持了同构。

我们把抽象的线性空间选定坐标系后，就同构到了标准线性空间 \(\mathbb{F}^n\)

至此，通过坐标系，我们把用代数的方法研究几何的思路已经模拟到了抽象空间上。手段是建立坐标系。坐标系这个观念在逻辑上的要点就是线性相关的理论。

一些例子

标准线性空间 \(\mathbb{F}^n\) 的标准基和一般基。

标准基拼成了单位阵 \(I\)。

单位矩阵的列向量是标准基。

两句话代表了不同的思维。

当然也可以验证无关性和可表示性。

此外还有一般基，任意 n 个向量，满足线性无关即可。但是呢，基的定义还有个可表示性。

可表示性写成矩阵方程形式 \(Ax = b\) ，只要能找到 \(x\) 那么就是能表示的。显然可以，因为增广矩阵秩为 \(n\)。

注1：这里注意这个观点：系数为方阵的线性方程组，可盈向量语言来描述，解方程，就是把右端向量沿着基向量展开求坐标的问题。

注2：无限维的例子

信号与系统，\(\mathbb{F}[x] = \{ f \vert f \in \mathcal{F}(\mathbb{F}, \mathbb{F}) \}\)

\[\mathbb{F}_n[x]\]