能控性、能观性
- 能观性、能控性提出的背景，为什么会讨论这个问题
- 初始条件的确定——状态能观性
- 初始条件的建立——状态的能控性
- 讨论了能管能控，我们想把能控的状态凑一凑放一堆，这需要相似变换的手段。在变换之前，我们知道一个系统有多种实现，那么还有一个最小实现的问题需要解决。我们用最小实现来实现不同的状态变量分堆
- 最小实现
- 不能控、不能观实现的标准型(不能控的能控的都区别开)
- 状态空间的分解，从空间的角度，来进一步研究不同的状态，各种子空间
- 能控能观是性质，还需要一些方法，来更容易的判断一个系统是否具有这些性质
- 能控性、能观性 PBH 检测
关于能观测性和能控性初步讨论。前面的标准型也会用到。
提出背景
初始条件的确定
一个系统一个系统写出了状态空间表达式，如果要进行 MATLAB 仿真，还要给出每个状态变量的初始值。
\[\begin{aligned} \dot{x} &= Ax + Bu \\ y &= Cx \end{aligned}\]对于系统初始条件的确定，即与 \(y\) 和 \(u\) 有关的东西我们是知道的，如何确定 \(x(0_-)\)。
更具体的来讲，由 \(\{ y(t), t \ge 0 \}\) 和 \(\{ u(t), t \ge 0 \}\) 确定任一时刻状态 \(\{ x(t), t \ge 0 \}\) 的问题就是状态观测问题。
系统能控，即
\[\text{rank} \left [ \begin{array}{} B & AB & A^2B & \cdots & A^{n-1}B \end{array} \right] = n\]或
\[\text{rank} \left [ \begin{array}{c:c} sI - A & B \end{array} \right] = n\]初始条件的建立
初始状态确定了，还有个问题是如何把这个值设置下去，MATLAB仿真很容易，鼠标点点就有了。但是比如火箭发射后，运行中需要校准，也就是重新设置状态初始，此时只能通过系统的输入，是系统在短时间内获得所需要的状态。
能控性，只要能控性矩阵满秩，就可以通过输入 \(u(\cdot)\) 对所有状态任意设置初始条件。
系统能观测，有
\[\text{rank} \left [ \begin{array}{} C \\ CA \\ CA^2 \\ \vdots \\ CA^{n-1} \end{array} \right] = n\]或
\[\text{rank} \left [ \begin{array}{} c \\ sI - A \end{array} \right] = n\]最小实现
一个传递函数阶数最低的实现为这个传递函数的最小实现。
子空间
能控性梵音控制作用对状态的影响能力。不能控系统不一定所有状态都不受控制作用影响。
如果 \(X\) 是域 \(\mathbb{F}\) 上的状态空间，全部能控状态构成 \(X\) 的一个子空间，叫做能控子空间。
定义 \(<A,b> = L\{ b,Ab,\cdots,A^{n-1}b \}\) 是能控子空间。
需要证明，是不变子空间，是能控子空间(内任一状态能控，所有能控状态都在内)
正交补空间为不能控子空间。
能控能观检验
秩判据
线性定常连续系统完全可控的充分必要条件是
\[\text{rank} \left [ \begin{array}{} B & AB & A^2B & \cdots & A^{n-1}B \end{array} \right] = n\]PBH 秩判据，线性定常连续系统完全可控的充分必要条件是，矩阵 \(A\) 的所有特征值有
\[\text{rank} \left [ \begin{array}{} \lambda_i I - A & B \end{array} \right] = n \quad ; \quad i=1,2,\cdots,n\]或者等价表示
\[\text{rank} \left [ \begin{array}{c:c} sI - A & B \end{array} \right] = n \quad ; \quad \forall s \in \mathbb{C}\]一些重要结论
重要结论以及证明方法
给定实现 \(\{ A,b,c \}\) ，特征多项式为 \(a(s) = \vert sI-A \vert = s^n + a_1 s^{n-1} + \cdots + a_n\)，传递函数为
\[c(sI - A)^{-1}b = \frac{ b_1 s^{n-1} + \cdots + b_n }{ s^n + a_1 s^{n-1} + \cdots + a_n }\]则 \(\{ A,b,c \}\) 能化为控制器规范型 \(\iff\) \(\{ A,b,c \}\) 能控。
分析：能化为控制器规范型即能找一个满秩变换矩阵 \(T\)，能控即能控性矩阵满秩。因此证明就去找这两个矩阵的联系。控制器规范型我们是知道的，那么可以设出来这个变换矩阵，找一个变换矩阵和能控性矩阵的联系关系。
即有个矩阵 \(T\)，使得 \(x = T \overline{x}\) 下有
\[\begin{aligned} T^{-1} A T = A_c \\ T^{-1} b = b_c \\ cT = c_c \end{aligned}\]目标是找 \(T\)，设 \(T = \left [ \begin{array}{} t_1 & t_2 & \cdots & t_n \end{array} \right]\)
\[\left [ \begin{array}{} t_1 & t_2 & \cdots & t_n \end{array} \right] A_c = A \left [ \begin{array}{} t_1 & t_2 & \cdots & t_n \end{array} \right] \tag{*}\]其中可以用 \(b = Tb_c\) 算出 \(t_1\) ，可以在上式中引入 \(b\)。
重新写成矩阵形式
\[T = \left [ \begin{array}{} t_1 & t_2 & \cdots & t_n \end{array} \right] = \left [ \begin{array}{} b & Ab & \cdots & A^{n-1}b \end{array} \right]\]