标准形与特征值
主要介绍矩阵在相似变换下的标准形，及矩阵特征值估计和计算的幂迭代法。它们不仅是矩阵理论和矩阵计算的基本问题，而且在许多工程技术研究领域也有着广泛的应用
§1 矩阵的Smith标准形，不变因子，初等因子# §2 Jordan 标准型* §3 酉空间，酉矩阵，酉相似标准型 §4 特征值的隔离 §5 幂迭代法与逆幂迭代法*
- 1.矩阵的Smith标准形和不变因子。主要介绍-矩阵在初等变换下的标准形-Smith标准形。
- 2.Jordan标准形。主要介绍Jordan块和Jordan标准形概念，进而给出矩阵的Jordan标准形定理。
- 3.矩阵Jordan标准型计算：初等因子法。利用矩阵的Jordan标准形理论，给出Jordan标准形的具体计算方法。
- 4.盖尔圆定理。主要介绍矩阵特征值估计的基本理论-盖尔圆定理。
- 5.特征值的隔离。主要介绍应用盖尔圆定理进行特征值的隔离问题。
- 6.幂迭代法。主要介绍近似计算矩阵主特征值的方法–幂迭代法。
- 7.规范化幂迭代法。主要介绍对幂法的改进–规范化幂迭代法的执行。
一开始要有必要的工具准备，各种多项式相关概念，多项式矩阵的东西，多项式矩阵初等行变换。
我们还在执着的研究"最简单"问题。多项式矩阵用初等行变换，最简单能变成什么样子？smith标准形。
对于多项式，还有个问题是，这种变换是唯一的吗？为了解决唯一性，又有一些刻画唯一性的概念：行列式因子、初等因子、不变因子。(还有一些不是很重要的手算smith标准的方法和技巧)。
事实上，曾经我们见过多项式矩阵，数字矩阵的的特征矩阵就是多项式矩阵。数字矩阵的相似可以归结为特征值矩阵的等价。等价是一个比较弱的条件。由此可以归纳一下矩阵相似的各种刻画。
更好的标准形，Jordan标准形处理为一种更特殊的形式
smith 标准形
多项式矩阵( \(\lambda\) -矩阵)的标准形。先从多项式入手。
多项式的整除
多项式矩阵的初等变换，秩
smith标准型
标准形是唯一的也即不变的，所以对角线上的每个多项式就叫成不变因子。
秩为r的多项式矩阵有r个行列式因子。
Jordan 标准形
Jordan块被他的初等因子唯一决定。
求标准形及可逆变换
酉空间，酉矩阵，酉相似标准型
Schur定理：复矩阵可以用酉矩阵相似化成上三角矩阵。
正规矩阵可以酉相似于对角矩阵
特征值的估计
做题目的时候，特征值随便算算就算出来了。但是随便拿到一个矩阵并没有那么容易。因此在计算上需要一些可以用程序实现的，计算矩阵特征值的方法。
盖尔圆定理就是用矩阵元素来判断特征值范围的一种方法。
盖尔圆定理：设 \(\boldsymbol{A} = (a_{ij})_{n \times n}\) ，则其特征值 \(\lambda \in \bigcup_{i=1}^n D_i\)，其中
\[D_i = { z : \vert z - a_{ii} \vert \le \sum_{j=1,j \ne i}^n \vert a_{ij} \vert }\]除对角元外行元素的绝对值相加。
可以把特征值的范围确定下来，更多时候我们希望一个圆里只有一个特征值，即隔离开来。利用相似变换可以做到。
选择变换矩阵为对角矩阵，要使半径放大，则 \(d_i < 1\)
举例子，一个矩阵
\[\boldsymbol{A} = \left [ \begin{array}{} 2 & 2 & -1 \\ 1 & 10 & -1 \\ 8 & 2 & 20 \\ \end{array} \right]\]估计一下特征值的分布情况。
\[G_1 = \{ z : \vert z - 2 \vert \le 3 \}\] \[G_2 = \{ z : \vert z - 10 \vert \le 2 \}\] \[G_3 = \{ z : \vert z - 20 \vert \le 10 \}\]因为 \(G_2\) 和 \(G_3\) 相交，与 \(G_1\) 里有一个特征值，剩下区域有两个，要做分离。
让 \(G_1\) 大一些，两外两个收缩一下，选用变换矩阵
\[\boldsymbol{D} = \left [ \begin{array}{} \frac{1}{2} \\ & 1 & \\ & & 1 \\ \end{array} \right]\]则
\[\boldsymbol{D}^{-1}\boldsymbol{AD} = \left [ \begin{array}{} 2 & 4 & -2 \\ 0.5 & 10 & -1 \\ 4 & 2 & 20 \\ \end{array} \right]\]矩阵相似特征值相等。
又因为实矩阵，所以特征值都是实数，每个圆盘内都有一个特征值。
在特征值是实数的基础上，还可以给出具体区间。排序之后可以给出更细致的区间范围。
幂迭代法
使用盖尔圆定理粗略的获得特征值的位置之后。有时候我们想知道一个矩阵的模最大特征值，这个模最大特征值很有用，关系到后面的很多数值方法收敛与否。因此还要一个方法，编程迭代计算出这个模最大特征值。
主特征值和主特征向量的数值计算方法
迭代法是可以用编程实现的方法。
选一个初始向量 \(\boldsymbol{\nu}^{(0)}\)
\[\left \{ \begin{aligned} \boldsymbol{u}^{(k)} &= \boldsymbol{A\nu}^{(k-1)} \\ m^{(k)} &= \max ( u^{(k)}_i) \\ \boldsymbol{\nu}^{(k)} &= \frac{\boldsymbol{u}^{(k)}}{m^{(k)}} \end{aligned} \right.\]逆幂迭代法
找最小的特征值以及对应的特征向量。
\[\left \{ \begin{aligned} \boldsymbol{u}^{(k)} &= \boldsymbol{A^{-1} \nu}^{(k-1)} \\ m^{(k)} &= \max ( u^{(k)}_i) \\ \boldsymbol{\nu}^{(k)} &= \frac{\boldsymbol{u}^{(k)}}{m^{(k)}} \end{aligned} \right.\]或者
\[\left \{ \begin{aligned} \boldsymbol{Au}^{(k)} &= \boldsymbol{\nu}^{(k-1)} \\ m^{(k)} &= \max ( u^{(k)}_i) \\ \boldsymbol{\nu}^{(k)} &= \frac{\boldsymbol{u}^{(k)}}{m^{(k)}} \end{aligned} \right.\]逆幂迭代法可以找距离给定值最近(最小)的特征值。
比如说一个矩阵 \(\boldsymbol{A}\)，找最接近 \(10\) 的特征值，那么矩阵选为 \(\boldsymbol{A} - 10\boldsymbol{I}\) 即可。
