线性映射
线性代数里真正让人感兴趣的部分是线性映射。讨论这个话题,经常需要除了
表示 或 和 表示定义在 的向量空间
向量空间的线性映射
还是先准备一些定义。
定义线性映射(linear map):线性映射是满足这两个性质的映射
- 叠加性:对于
都有 - 齐次性:对于
和 有
对于线性映射,也常写成
从
一些线性映射的例子:
- 0
- 恒等
- 微分运算
- 积分运算
- 乘以
线性映射可根据其在一个基上的取值来构造,
线性映射与定义域的基
设
定义映射的代数运算,
按照对映射的运算的定义,可以验证这两个映射也是线性映射。
按照上面定义的加法和标量乘法,
这里有点套娃了。映射也可以是一个元素,映射组成的集合也是个空间。
一般来说向量空间的两个元素相乘没啥意义,但是线性映射可以定义出一种有用的乘积:若
零空间和值域
与每一个线性映射紧密联系的两个子空间。
定义零空间(null space),
零空间是定义域的子空间。
一一映射等价于零空间为
给函数的输出集取个名字。
定义值域(range):映射
线性映射的值域是目标空间的子空间:一个映射
定义满射,
线性映射基本定义
这个结果很重要,所以前面有基本两个字。
线性映射基本定理:设
一个到更小维数向量空间的映射不可能是一一映射(单射):如果
一个到更大维数向量空间的映射不可能是满射:如果
这两条在线性方程组理论中有重要的应用,这两个想法也是用来表述线性方程组的问题的。
矩阵
用矩阵表示线性映射
若
定义映射的线性矩阵(matrix of a linear map)
记号
可逆性与同构的向量空间
定义可逆、逆:
可逆的线性映射有唯一的逆。
一个线性映射是可逆的,仅当是一一映射并且是满射。
同构的向量空间,描述了除元素的名字之外本质上相同的两个空间。
定义同构(isomorphism)、同构的:
- 同构就是可逆的线性映射
- 若两个向量空间存在一个同构,那么这两个向量空间就是同构的
同构
定理维数反映了向量空间是否同构,
这个事情可以证明*。
这个定理表明每个有限维向量空间都同构于
既然每个有限维向量空间都同构于
我们会遇到线性映射的零空间和值域(像空间),这些向量空间同构于某个
可以确定从一个向量空间映射到另一个向量空间的所有线性映射构成向量空间的维数:
线性映射的另一个观点是矩阵乘。
线性映射同构于一个数字矩阵,所以这个数字矩阵不仅依赖于线性映射,也依赖于基的选取,后面很多结论的重要主旨就是如何选取基以使得这个数字矩阵尽可能简单。
向量空间到自身的线性映射很重要,所以有特别的名字和记号。
定义算子(operator),
- 线性空间到自身的线性映射
- 记号
表示 上全体算子组成的集合,即
线性代数里最深刻的内容就是研究算子。
在有限维空间,算子
- 可逆
- 一一映射(单射,单的)
- 满射
向量空间的积与商
通常在处理多个向量空间时,这些空间应该定义在同一个域上。
定义向量空间的积。设
- 规定积
为 - 规定
上的加法为 - 规定
上的标量乘法
向量空间的积还是向量空间。
比如说
空间积的维数等于维数的和。