线性映射

线性代数里真正让人感兴趣的部分是线性映射。讨论这个话题，经常需要除了 \(V\) 之外的另一个向量空间 \(W\)，所以采用这些符号：\(\mathbb{F}, V, W\)

• \(\mathbb{F}\) 表示 \(\mathbb{R}\) 或 \(\mathbb{C}\)
• \(V\) 和 \(W\) 表示定义在 \(\mathbb{F}\) 的向量空间

向量空间的线性映射

还是先准备一些定义。

定义线性映射(linear map)：线性映射是满足这两个性质的映射

• 叠加性：对于 \(x, y \in V\) 都有 \(T(x + y) = T(x) + T(y)\)
• 齐次性：对于 \(\lambda \in \mathbb{F}\) 和 \(x \in V\) 有 \(T(\lambda x) = T\sigma(x)\)

对于线性映射，也常写成 \(Tx\) 或者写成更标准的函数记号 \(T(x)\)。

从 \(V\) 到 \(W\) 的所有线性映射组成的集合记为 \(\mathcal{L}(V,W)\)

一些线性映射的例子：

• 0
• 恒等
• 微分运算
• 积分运算
• 乘以 \(x^2\)

线性映射可根据其在一个基上的取值来构造，

线性映射与定义域的基

设 \(v_1 , \cdots, v_n\) 是 \(V\) 的基，\(w_1, \cdots , w_n \in W\)，则存在唯一一个线性映射 \(T: V \to W\) 使得 \(Tv_j = w_j\)

定义映射的代数运算，\(\mathcal{L}(V,W)\) 上的代数运算。先在 \(\mathcal{L}(V,W)\) 上定义加法和标量乘法：设 \(S, T \in \mathcal{L}(V,W)\)， \(\lambda \in \mathbb{F}\)， 定义和 \(S+T\) 与积 \(\lambda T\) 是两个映射，对于所有的 \(v \in V\)

\[(S+T)(v) = Sv + Tv, \qquad (\lambda T)(v) = \lambda (Tv)\]

按照对映射的运算的定义，可以验证这两个映射也是线性映射。

按照上面定义的加法和标量乘法， \(\mathcal{L}(V,W)\) 也是个向量空间。

一般来说向量空间的两个元素相乘没啥意义，但是线性映射可以定义出一种有用的乘积：若 \(T \in \mathcal{L}(U,V), S \in \mathcal{L}(V,W)\) ，定义乘积 \(ST \in \mathcal{L}(U,W)\) 使得 \((ST)(u) = S(Tu)\)

零空间和值域

与每一个线性映射紧密联系的两个子空间。

定义零空间(null space)，\(\text{null} T\)：一个映射 \(T \in \mathcal{L}(V,W)\)，\(T\) 的零空间是指 \(V\) 中那些被 \(T\) 映为 \(0\) 的向量构成的子集

\[\text{null} T = \{ v \in V : Tv = 0 \}\]

零空间是定义域的子空间。

一一映射等价于零空间为 \(\{ 0 \}\)：映射 \(T \in \mathcal{L}(V,W)\) ， \(T\) 为一一映射当且仅当 \(\text{null} T = \{ 0 \}\)

给函数的输出集取个名字。

定义值域(range)：映射 \(T \in \mathcal{L}(V,W)\)，\(T\) 的值域是 \(W\) 中 \(Tv\) 组成的子集

\[\text{range}T = \{ Tv : v \in V \}\]

线性映射的值域是目标空间的子空间：一个映射 \(T \in \mathcal{L}(V,W)\)，则 \(\text{range}T\) 是 \(W\) 的子空间。

定义满射，

线性映射基本定义

这个结果很重要，所以前面有基本两个字。

线性映射基本定理：设 \(V\) 是有限的，映射 \(T \in \mathcal{L}(V,W)\) ，则 \(\text{range}T\) 是有限维的，并且

\[\dim V = \dim \text{null} T + \dim \text{range} T\]

一个到更小维数向量空间的映射不可能是一一映射(单射)：如果 \(V, W\) 是有限维向量空间，并且 \(\dim V > \dim W\)，那么 \(T \in \mathcal{L}(V,W)\) 这个映射一定不是单的。

一个到更大维数向量空间的映射不可能是满射：如果 \(V, W\) 是有限维向量空间，并且 \(\dim V < \dim W\)，那么 \(T \in \mathcal{L}(V,W)\) 这个映射一定不是满的。

这两条在线性方程组理论中有重要的应用，这两个想法也是用来表述线性方程组的问题的。

矩阵

用矩阵表示线性映射

若 \(v_1, \cdots , v_n\) 是 \(V\) 的基，映射 \(T \in \mathcal{L}(V,W)\) 是线性的，则 \(T v_1, \cdots , T v_n\) 可以确定 \(T\) 在 \(V\) 的任意向量上的值。

定义映射的线性矩阵(matrix of a linear map) \(\mathcal{M}(T)\) ：映射 \(T \in \mathcal{L}(V,W)\)， \(v_1, \cdots , v_n\) 是 \(V\) 的基， \(w_1, \cdots , w_n\) 是 \(W\) 的基。则一个抽象的线性映射可以用具体的数字矩阵来表示。

记号 \(\mathbb{F}^{m \times n}\)，矩阵的集合。这是一个 \(mn\) 维向量空间。

可逆性与同构的向量空间

定义可逆、逆：

可逆的线性映射有唯一的逆。

一个线性映射是可逆的，仅当是一一映射并且是满射。

同构的向量空间，描述了除元素的名字之外本质上相同的两个空间。

定义同构(isomorphism)、同构的：

• 同构就是可逆的线性映射
• 若两个向量空间存在一个同构，那么这两个向量空间就是同构的

同构 \(T : V \to W\) 把 \(v \in V\) 重新标记为 \(Tv \in W\) ，这个观点解释了为何两个同构的向量空间具有相同的性质。"同构"和"可逆的线性映射"这两个术语意思相同。"同构"在强调两个空间本质上相同。

定理维数反映了向量空间是否同构，\(\mathbb{F}\) 上两个有限维向量空间同构当且仅当维数相同。

这个事情可以证明*。

这个定理表明每个有限维向量空间都同构于 \(\mathbb{F}^n\) 。每个映射 \(T \in \mathcal{L}(V,W)\) 都有一个矩阵 \(\mathcal{M}(T) \in \mathbb{F}^{m\times n}\) 来表示，也就是说映射的矩阵表示 \(\mathcal{M}\) 是从 \(\mathcal{L}(V,W)\) 到 \(\mathbb{F}^{m\times n}\) 的函数。并且 \(\mathcal{M}\) 是线性映射，并且这个线性映射还是可逆的，那么也就是说：\(\mathcal{L}(V,W)\) 与 \(\mathbb{F}^{m\times n}\) 同构！

可以确定从一个向量空间映射到另一个向量空间的所有线性映射构成向量空间的维数：\(\dim \mathcal{L}(V,W) = (\dim V)(\dim W)\)

线性映射的另一个观点是矩阵乘。

线性映射同构于一个数字矩阵，所以这个数字矩阵不仅依赖于线性映射，也依赖于基的选取，后面很多结论的重要主旨就是如何选取基以使得这个数字矩阵尽可能简单。

向量空间到自身的线性映射很重要，所以有特别的名字和记号。

定义算子(operator)，\(\mathcal{L}(V)\)

• 线性空间到自身的线性映射
• 记号 \(\mathcal{L}\) 表示 \(V\) 上全体算子组成的集合，即 \(\mathcal{L} (V,V) = \mathcal{L} (V)\)

线性代数里最深刻的内容就是研究算子。

在有限维空间，算子 \(T \in \mathcal{L}(V)\) ，这些命题等价

• 可逆
• 一一映射(单射，单的)
• 满射

向量空间的积与商

通常在处理多个向量空间时，这些空间应该定义在同一个域上。

定义向量空间的积。设 \(V_1, \cdots, V_m\) 是 \(\mathbb{F}\) 上的向量空间

• 规定积 \(V_1 \times \cdots \times V_m\) 为 \(V_1 \times \cdots \times V_m = \{ (v_1, \cdots , v_m) : v_1 \in V_1 , \cdots , v_m \in V_m \}\)
• 规定 \(V_1 \times \cdots \times V_m\) 上的加法为
• 规定 \(V_1 \times \cdots \times V_m\) 上的标量乘法

向量空间的积还是向量空间。

比如说 \(\mathbb{R}^2 \times \mathbb{R}^3\) 里的元素为 \(((x_1, x_2), (x_3, x_4, x_5))\)，同构于 \(\mathbb{R}^5\)

空间积的维数等于维数的和。