1.1 线性空间

引入线性空间，是为了把欧几里得空间里的几何思想应用到一个更广的领域。可以这么理解。

线性空间的概念

定义：线性空间

一个集合 \(V\) 和域 \(\mathbb{F}\)，定义了两种映射(运算)，就称 \(V\) 是域 \(\mathbb{F}\) 上的线性空间。

运算1 \(\sigma : V \times V \longrightarrow V\)，记作 \(v = a + b\)，满足

  • \[a + b = b + a\]
  • \[a + b + c = b + a + c\]
  • \[e + v = v\]
  • \(v + a = e\) 记作 \(a = -v\)

运算2 \(\tau : V \times \mathbb{F} \longrightarrow V\) 满足

  • \[(a + b)k = ak + bk\]
  • \[a(k + l) = ak + al\]
  • \[a(kl) = (ak)l\]
  • \[a1 = a\]

抽象加法完成后做数乘，先做数乘法后做抽象加法，结果相同。

数域加法，V中定义的加法，两个加法是不一样的。

补充

抛弃掉以前关于数学的记忆，这里的加法是抽象元素的加法。

这个思路，要用映射的眼光看待一切事情。

如果会一点编程呢个，比方说，C++里的运算符重载，两个抽象类可以定义加法，很有意思。

解释：

1.域。

数学史，有理数，无理数。

毕达哥拉斯，根号2，无法写成两数之比。哲学观念收到了极大冲击。

2.集合的卡式集

用数学名字命名的东西都要有虔诚的心态去领会。

笛卡尔，解析几何被认为是从常量数学过渡到变量数学最伟大的一步。

笛卡尔的核心是建立坐标系，两个坐标轴就可以把一个平面上所有的东西定位。换言之，他认识到了平面和直线的关系，揭露了平面的几何结构，平面看作是直线的 Cartesian Product，这个微妙的思想，对于接受过现代数学教育的人来说，像空气一样没有存在感，但是在当时是伟大的一步。

3.映射的记号

一个映射 \(f: A \longrightarrow B\) 使得有 \(a \longmapsto b\) 其中 \(a \in A\)

还有一些通常的约定，比如说也把线性空间叫做向量空间。\(V\) 的元素也常叫做向量。

为什么叫空间？不是个集合吗，我们为了把一个抽象的运算系统，用通常的几何空间去想象、模拟。虽然"直观不可靠"，但是人离开了直观，在数学上往前走还是比较困难的(对我来说)。

如果向量为列向量，数乘法的数可以卸载右侧，行向量数乘法的数可以写在左侧。从矩阵成乘法的角度理解整套运算系统。

这倒也不是必须的。

一些线性空间的例子。

集合 \(\mathbb{F}^n\) 和 域 \(\mathbb{F}\) (标准线性空间)

还要给集合 \(\mathbb{F}^n\) 定义加法和数乘法。此外还要验证满足八条法则。从一个数域出发，造一个标准的线性空间。

补充

标准线性空间，纯数学，来构造一个，这个空间在后面是个桥梁，会用的到。抽象空间经常同构到这里。

几何空间。

集合 \(V := \text{有向线段}\) ，平移后重叠看作一个，域 \(\mathbb{R}\)

定义加法：平行四边形法则，定义数乘：同向或反向伸缩。

验证八条性质。

我们可用几何空间需要用作图法验证八条性质。

我们前面写的代数性质，加法结合律这个纯代数规律，在几何空间这个特殊场合体现的是几何性质。表面上毫不相关的东西背后的罗技结构是一样的，数学的威力就在于此。

代数性质，捕捉到了一些几何性质。

通过这八条性质，把空间几乎所有的几何性质(相似、全等、平行等)全都翻译成了一个代数运算系统，这样一个精神是早期笛卡尔研究解析几何精神的进一步深化。几何的对象如何同构成一个代数对象，沟通这两者的思维过程。

补充

很直观。直观事物的数学化。

这个例子是我们研究研究线性空间的动机，也就是解析几何的精神。

函数空间 \(\mathcal{F}(I, \mathbb{R^n})\)

I 为区间，定义域。\(\mathbb{R^n}\) n元组。

向量值函数。n 维向量函数。

信号与系统，所有的信号构成一个函数空间。

补充

这个例子对于学控制的人很重要。

信号就是个曲线，是个函数图像。

补充

引入线性空间，把我们熟悉的几何空间中解析几何的方法抽象到一般线性空间的框架下。解析几何的核心：建立坐标系然后把把几何量变为代数量，把此思想也迁移到抽象集合上去。

这里的核心是坐标系，抽象空间里什么样的向量组有资格称为坐标系呢？由此发展出抽象空间的线性相关性理论。

下面就是在解决相关性问题，然后给出坐标系。

线性空间的概念有了，有了线性空间要干什么呢？建立哪些理论。

最重要的 线性相关性，线性空间的维数。

向量的线性相关性

向量组：

抽象矩阵：

抽象为了体现和具体的数矩阵的区别

定义向量组及向量组拼成的抽象矩阵

设 V 是 F 上的线性空间，V有的有限序列 称为 V 的一个向量组。向量组按顺序排成的行称为向量组拼成的抽象矩阵。

集合 V 并不是一定是数集，\(V\) 里面的元素并不一定是是数。所以拼出来的东西实际上不是矩阵(矩阵里面是数字)，但是为了技巧上的方便，我们就叫矩阵了。

定义：向量组的线性相关性(模拟坐标系的核心概念。)

对于 \(\alpha_i \in V\) 和 \(k_i \in \mathbb{F}\)

如果

\[\sum_{i = 0}^k \alpha_i k_i = e\]

成立有 \(k_i = 0\)，称为线性无关。

补充

这里可以看到借用了线性代数的概念。

但是要理解元素所在的空间，以及运算符成立的空间。

线性相关性的矩阵表达

\[\left [ \begin{array}{} \alpha_1 & \cdots & \alpha_n \end{array} \right ] \left [ \begin{array}{} x_1 \\ \vdots \\ x_n \end{array} \right ] = 0\]
  • 线性相关 \(\Longleftrightarrow\) 有非 0 解
  • 线性无关 \(\Longleftrightarrow\) 只有 0 解

注意这是个抽象矩阵方程，右侧的0是e，V 中的 0 元。

补充

引入线性相关线性无关是为了把基的概念、坐标系的概念搬到一般的抽象空间里来。

下面再靠近一些这个目标

定义两个向量组之间的线性表示

同样，也要注意向量所属的集合。以及运算定义在那个集合上或集合之间。

同样也有一个向量的矩阵表示

\[\left [ \begin{array}{} \alpha_1 & \cdots & \alpha_n \end{array} \right ] \left [ \begin{array}{} x_1 \\ \vdots \\ x_n \end{array} \right ] = \beta\]

向量组的线性表示写成矩阵形式

\[\left [ \begin{array}{} \alpha_1 & \cdots & \alpha_n \end{array} \right ] \left [ \begin{array}{} x_{11} & \cdots & x_{1m} \\ \vdots \\ x_{n1} & \cdots & x_{nm} \end{array} \right ] = \left [ \begin{array}{} \beta_1 & \cdots & \beta_m \end{array} \right ]\] \[AX = B\]
补充

抽象方程。

重复了很多次了。但是还是要重复。

AB是抽象矩阵，X是具体的数矩阵。

这是思想上的问题。可以说是用线性方程组的概念上升到抽象空间的语言。或者说抽象线性空间的抽象概念用具体的线性方程组的语言来认识。

补充

引入线性相关线性无关的概念为了把笛卡尔坐标系的思想模拟到、抽象到任何一个线性空间。

有了坐标系，可以化抽象为具体。

定义向量组的极大线性无关子组。三个条件

  • 子组
  • 无关
  • 极大

母组可由子组线性表出，从这个角度，子组叫"生成组"。即用+和数乘重新构造整个空间。

补充

整个三维空间里，取出 x,y,z 三个作为子组，这个子组就可以重新构造整个空间。

坐标系的概念就是生成组的概念。

命题：母组可由其极大线性无关子组线性表示。

子组固然可以用母组线性表示。

还有个重要的问题。母组A ，极大线性无关子组B由s个向量，极大线性无关子组C由t个向量，必须要证明 s=t，不然全都崩溃了。

定理向量组的极大线性无关子组所包含的向量个数是唯一的。

方程个数小于未知数，总能找到解。

可以用消元法，数学归纳法也可以。

用反证法推矛盾。

因此可以看出，个数是内在性质，不依赖于选取。

定义向量组的秩极大无关子组的个数。

这就建立起了秩的理论。

补充

模拟坐标系，到这里准备工作终于做完了。