定积分与微分
定积分
去考虑圆的面积公式，尝试用圆环叠加去近似，同样的更数学化的例子是算一个坐标系中不规则图形的面积，使用矩形去近似。更实际的例子是知道车辆速度去求行驶距离。这些问题都会等价到最后求曲边梯形的面积，这就是数学中的抽象思维。将事物的共同点提取出来，就是求大量的很小的东西加起来。
那么这个问题又该怎么解决呢？继续做问题的等价：把左端点固定，让右端点移动，能不能找到一个函数A(x)代表抛物线下的面积。一个巧妙的思考方法：如果x增加一小点dx，那么面积增加量dA近似等于x^2dx，增加量越小越准确。也就是说dA/dx≈x^2，对于更一般的函数有dA/dx≈f(x)，这里又遇到了另一个重要概念：导数。问题又被等价成了能不能找到一个函数的导数是f(x)。从这个角度可以引出导数、微分方程的概念。
(3B1B视频)
定积分的定义
\[S = \lim_{\lambda \to 0} \sum_{i=1}^n f(\xi_i) \Delta x\]求曲边梯形可以归结上求这种类型的极限。
这个极限记作
\[I = \int_a^b f(x)dx\]不管怎么取，这个极限值是相同的，但是有种特殊的取法
\[\lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^n f(0 + \frac{x-0}{n}i)\frac{x-0}{n} = \int_0^xf(t)dt\]数列求和，转换成积分问题来解决。
微分
3B1B笔记
从定积分开始
导数的悖论
导数通常描述为瞬时变化率，其实仔细思考这个说法是矛盾的，拍一张车辆运动的照片，这是一个瞬间，能看出速度吗？显然不太行。那么速度到底是什么，速度的来源是距离/时间，即∆x/∆t，这是速度的本质，也就是说要是速度一定得有时间的变化，那这个速度还是瞬时速度吗？
因此有了数学上的dt，这个dt是个无限接近0的东西但是不是0，，听起来更像是在狡辩。但是这个想法很巧妙的绕开了瞬时和变化的关系，这个东西巧妙的描述了瞬间的变化，辩证统一。
以一个函数f(x)=x^3为例子求导数
\[f'(x) = \frac{f(x+dt)-f(x)}{dt} = \frac{(x+dt)^3-x^3}{dt} = 3x^2 dt+[3x(dt)]^2+(dt)^3/dt=3x^2+3xdt+(dt)^3\]这个计算过程没有出现lim的运算但是又处处体现的极限的思想，因为dt本身就是一个极限（无穷小）。同时这个结果也表达了微分的含义，同时也可以看到级数的身影。
接着这个特殊函数去思考，若f是车的位置，那么在t=0时刻，车子在动吗？如果t=0时刻车没动，那么车又是什么时候开始动的呢？这就是前面那个悖论，这个问题实际上是没有意义的，问题是基于一个不存在的概念"瞬时变化"，而导数不是用来测量"瞬时变化的"，导数为0的含义是：当时间的间隔变得越来越小时，这个表示速度的比值就越趋近于0。这不是说车是静止的，是说他此时运动速度近似于0。瞬时变化率的准确含义是"变化率的最佳近似"。（实际上又回到了∆y/∆x）
工程应用需要理解这些数学表达是在描述什么，至于计算的问题，给出表达式交给数学家去算，他们会给我们纯数学的解学方案。
极限
前面不经意间提到了极限这个名词，极限看起来是一个直觉的想象概念，但是数学上确给了严谨的定义。再来看导数的定义：
(lim)┬(∆x→0)〖(f(x+∆x)-f(x))/∆x〗
这是导数的标准定义式，和前面不同没用dt，因为d本身就代表了趋近的意思。 极限存在，收缩x，f(x)是一个确定值。
再来看看洛必达法则，洛必达实际上想表达这么个事情，只不过吧dx约掉了，实际上是泰勒展开后的特殊情况，也体现了微分中以直带曲在极限过程中精确的思想。
(lim)┬(x→x_0 )〖(f(x_0))/(g(x_0))=(lim)┬(x→x_0 )〖(f'(x)dx)/(g'(x)dx)〗 〗
积分
想象闭着眼坐在车里，凭感觉判断车走了多远，这是一个粗略的惯性导航，有一些应用也是这么干的，间隔时间用传感器测加速度，将加速度累加得到速度。这个问题在第一部分粗略的谈过，抽象成了求曲边梯形的面积。这个运算恰好是第二部分导数中的逆运算。 在没有讲极限之前，这个问题可能比较困难，只能用矩阵面积和近似替代，在实际的机器人离散系统里也是这么做的，所以会有积分累加误差。矩形面积越小越精确，很自然的想到"极限"情况下就是等于的。
自己写的
一元微分
经典控制理论的研究对象是微分方程，但是在工程应用经典控制理论的分析方法时，先需要有这么一个微分方程，实际上显示被控对象几乎都是非线性的，这时候就需要做一个线性化处理。线性化处理的数学理论基础就是这一部分。一些相似的思想：微分以直代曲、无穷小等价、级数展开更高阶的近似，更抽象的可以用线性代数的抽象空间来理解，实际上图像压缩算法里也蕴含着这种抓主要特征、忽略高阶项的思想。
这里先以以直代曲作为切入点，整理一元微分学的重要知识点。
可微和极限
高中物理学简谐运动的时候有个经典的单摆实验。最终得出的结论是单摆运动周期T仅与摆长l有关系，摆长越长，周期越大\(T = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}\)
在进行力学分析时有一个重要的近似：在\(\theta \le 5 \degree\)即平衡点附近\(sin\theta \approx \theta \approx \frac{x}{l}\)
可微、极限、导数
连续和可导
分析学性质
做题的东西
中值定理
工程物理上的应用
工程应用
