一元微积分应用

算几何参数

算面积、算体积、算弧长。

算面积是一元积分的本职工作。

算体积可以用二元积分工具解决，但是在一元积分这里可以给出二元积分的一个思路。即先找一个截面面积函数，对这个函数做一元积分。这个截面面积实际上也可以用一个一元积分来算，这也就是二元积分算体积的方法，拆成两个一元积分。

弧长计算实际上是曲线积分干的活，这里也是重在思想，微元之间的一个几何关系，理解了这个关系记住曲线积分公式是自然而然的事情。

画曲线

一个函数的上升下降、凹凸拐点、渐近线的问题。

单调性与极值点、凹凸性和拐点、渐近线。

尖点可以是拐点，也即拐点的二阶导数并不存在，但是拐点领域二阶导数变号了。

在工程上还要衡量弯曲的程度，即曲率。

Taylor(泰勒)展开研究函数

函数在一点附近的性质可以用展开的多项式的性质进行讨论。

基于这个思路，有L'Hospital(洛必达)法则

微积分中值定理

反映函数和导数之间的联系。

函数与其导数是两个不同的函数；而导数只是反映函数在一点的局部特征；如果要了解函数在其定义域上的整体性态，就需要在导数及函数间建立起联系，微分中值定理就是这种作用。微分中值定理，包括罗尔定理、拉格朗日定理、柯西定理、泰勒定理。是沟通导数值与函数值之间的桥梁，是利用导数的局部性质推断函数的整体性质的工具。

连续函数

有界最值定理

介值定理

零点定理

费马定理

罗尔定理

拉格朗日中值定理

柯西中值定理

泰勒中值定理

积分中值定理

其他应用

实际上微分方程也可以看作是应用，无穷级数也是，这两部分大量的使用了微积分工具，但是又有自己的一套解决问题的思想，因此这里提一下这个事情。这里笔记为了微积分由一元到多元过渡的连续性，就把级数放到了最后面。

至于微分方程本身自己也是个数学工具在工程学比如控制理论中大放光彩，所以直接单独拎出来，参考《常微分方程》去更深入的了解这部分的一些奇思妙想。