状态反馈
- 状态变量反馈
- 一些计算增益阵的公式
- 状态变量反馈的性质及应用
- 不改变零点
- 不影响能控性
- 测量状态的渐近观测器
- 渐近状态观测器
- 降阶状态观测器
状态反馈
一个系统
\[\begin{aligned} \dot{x} &= Ax + Bu \\ y &= Cx \end{aligned}\]传递函数为
\[H(s) = c(sI - A)^{-1}b\]特征多项式为
\[a(s) = \vert sI - A \vert = s^n + a_1 s^{n-1} + \cdots + a_{n-1}s + a_n\] \[H(s) = \frac{b(s)}{a(s)} = \frac{ b_1 s^{n-1} + \cdots + b_n }{ s^n + a_1 s^{n-1} + \cdots + a_{n-1}s + a_n }\]希望使用状态变量反馈来改变这个系统，得到一个具有指定特征值的新系统，指定的特征多项式为
\[\alpha(s) = s^n + \alpha_1 s^{n-1} + \cdots + \alpha_{n-1}s + \alpha_n\]引入状态反馈后，原输入变为
\[u(\cdot) = v(\cdot) - kx(\cdot)\]其中
\[k = [k_1 , \cdots , k_n ]\]新的外部输入为 \(v\) ，加入反馈后，实现就变成了
\[\begin{aligned} \dot{x} &= (A - bk)x + Bv \\ y &= cx \end{aligned}\]新的特征多项式为
\[a_k(s) = \vert sI - A + bk \vert\]选择合适的 \(k\) 使得 \(a_k(s) = \alpha(s)\)
Bass-Gura (巴斯-格拉)公式
\[k = (\alpha - a) (\Lambda^{T})^{-1}L^{-1}\]其中
\[\alpha = [\alpha_1, \cdots ,\alpha_n]^T\] \[a = [a_1, \cdots , a_n]^T\] \[\Lambda = \left [ \begin{array}{} 1 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ a_1 & 1 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ a_2 & a_1 & 1 & \cdots & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \\ a_{n-2} & a_{n-3} & a_{n-4}& \cdots & 1 & 0 \\ a_{n-1} & a_{n-2} & a_{n-3} & \cdots & a_1 & 1 \\ \end{array} \right ]\]利用状态反馈任意设定特征值的能力被称为振型能控性。
