方程组的几何解释

一个线性方程组

\[\begin{aligned} 2x - y &= 0 \\ -x + 2y &= -3 \end{aligned}\]

矩阵马上就出来了

\[Ax = b\]

按照行来看的(行)图像，直线上所有的点是方程的解。线性大概就是这么来的。

还要画出另一方程对应的直线。

通过图解法我们可以找到方程组的解。

列图像才是有意思的。

\[x [2,-1]^T + y [-1,2]^T = [0,-3]\]

找到两个向量的线性组合，使得成为目标向量。

作图

一个线性组合。那么所有的线性组合是什么？是任意的，布满整个平面的所有向量。

对于 \(3 \times 3\) 的向量也是同样的情况。

Row picture, 尽管很难画，但是也可以画的。

Column picture 是我们感兴趣的。

三个三维向量的线性组合，得到右边的向量。同样尽管很难画，但是总是可以画出来的。

两个问题：

• 对于方程 \(Ax = b\) 里的任意一个 \(b\) 都有解吗？
• 所有可能的线性组合能覆盖整个空间吗？

对于这个矩阵，都有解，也都能覆盖。

但是，有些是不能的。

矩阵乘法

需要记住运算的定义吗？

不如看看背后的思想。

比如 \(Ax = b\)，如何计算 \(Ax\)。

点积的视角。以及矩阵拆列向量线性组合的视角。