可解性

完整的解出 \(Ax = b\)，有解求出所有解，无解为何无解。

例子

\[\begin{aligned} x_1 + 2 x_2 + 2 x_3 &+ 2 x_4 &= b_1 \\ 2 x_1 + 4 x_2 + 6 x_3 &+ 8 x_4 &= b_2 \\ 3 x_1 + 6 x_2 + 8 x_3 &+ 10 x_4 &= b_3 \end{aligned}\]

写成矩阵形式

\[\left [ \begin{array}{cccc|} 1 & 2 & 2 & 2 & b_1 \\ 2 & 4 & 6 & 8 & b_2 \\ 3 & 6 & 8 & 10 & b_3\\ \end{array} \right]\]

系数矩阵和右侧的矩阵一起考虑，增广矩阵。

\[\left [ \begin{array}{cccc|} 1 & 2 & 2 & 2 & b_1 \\ 2 & 4 & 6 & 8 & b_2 \\ 3 & 6 & 8 & 10 & b_3\\ \end{array} \right] \to \left [ \begin{array}{cccc|} 1 & 2 & 2 & 2 & b_1 \\ 0 & 0 & 2 & 4 & b_2 - 2 b_1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & b_3 - b_2 - b_1 \\ \end{array} \right]\]