高阶线性微分方程
区别于初等积分法用积分找解。实际上n>=2就算高阶了
就拿二阶举例子吧
\[y'' + py' + qy = f(x)\]pq是函数，那么就是变系数。有f(x)是非齐次
高等数学的语境里，高阶只包含了常系数
常系数高阶线性微分方程
解的结构
两个解，比值不是常数，就叫成了线性无关的解，实际上有线性代数的影子。
解的结构实际上也和线性代数方程组的解的结构很相似。也是齐通+非齐特
更一般的
\[y^{(n)} + a_{n-1}y^{(n-1)} + \cdots + a_1 \dot y + a_0y=f(x)\]和对应的齐次线性方程
\[y^{(n)} + a_{n-1}y^{(n-1)} + \cdots + a_1 \dot y + a_0y = 0\]借助微分方程组的结论，上面这个齐次方程等价于
\[\frac{dx}{dt} = Ax\] \[\boldsymbol{A} = \left [ \begin{array} {c} 0 & 1 & 0 & \cdots & 0\\ 0 & 0 & 1 & \cdots & 0\\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots\\ 0 & 0 & 0 &\cdots & 1\\ -a_0 & -a_1 & -a_2 &\cdots &-a_{n-1} \\ \end{array} \right ]\]这时候就可以有这个矩阵的特征行列式和特征方程了，虽然是通过这个矩阵定义出来的，但是这个特征方程也被叫做了微分方程的特征方程，解叫作特征根。
特征根对应的模态就是齐次方程组的解，一堆模态搞起来作为基本解组。（说的太含糊了）
有复数根的基本解组使用EUler公式处理。有重根….
很严谨，但是搞复杂了。
还是拿二阶举例子，用有代表性的二阶研究，这里pq是常数。
\[y'' + py' + qy = 0\]很明显满足这个式子的是指数函数。
特征式\(\lambda^2 + p\lambda + q = 0\)
解出来就是e上面的指数。
- 两个不同根，就是两个模态的线性组合
- 二重根，模态就线性相关了，\(xe^{\lambda x}\)也是个解，而且无关
- 共轭复根\(\lambda_{1,2} = \alpha \pm \beta i\)
补充
控制系统，二阶系统，共轭复根，复数引入震动（三角函数），实部包络线，震动幅值衰减还是增加的问题。
非齐次的问题，找特解。
特解是设出来的。。很痛苦
\[y'' + py' + qy = P_n(x) \color{red}{e^{\alpha x}}\]当自由项是\(P_n(x)e^{\alpha x}\)，设特解为\(e^{\alpha x} Q_n(x)\cdot x^k\)，其中\(Q_n(x)\)为待定系数的同阶多项式，k取值0、1、2，
| \(y'' + py' + qy = P_n(x) \color{red}{e^{\alpha x}}\) | 特征根 | 通解 | 特解 |
|---|---|---|---|
| \(y'' - 4y' + 4y = 3x \color{red}{e^{2 x}}\) | \(2,2\) | \((C_1 + C_2 x)\color{blue}{e^{2 x}}\) | \(\color{red}{e^{2 x}} \color{black}{(ax+b)\cdot x^2}\) |
| \(y'' - 4y' + 3y = x \color{red}{e^{3 x}}\) | \(1,3\) | \(C_1\color{blue}{e^{x}} \color{black}{+ C_2}\color{blue}{e^{3 x}}\) | \(\color{red}{e^{3 x}} \color{black}{(ax+b)\cdot x^1}\) |
- 更痛苦的，当自由项出现了三角函数了
设特解为\(\color{red}{e^{\alpha x}}[ Q_l^{(1)}(x) \cos \beta x + Q_l^{(1)}(x)\sin \beta x ]\cdot x^k\)，其中\(Q_l(x)\)为待定系数的同阶多项式，取mn的最大值，k取值0、1，
| \(y'' + py' + qy = [ P_m(x) \cos \beta x + P_n(x)\sin \beta x ] \color{red}{e^{\alpha x}}\) | 特征根 | 通解 | 特解 |
|---|---|---|---|
| \(y'' - 4y' + 4y = \color{red}{e^{2 x}} \cos \beta x\) | \(2,2\) | \((C_1 + C_2 x)\color{blue}{e^{2 x}}\) | \(\color{red}{e^{2 x}} (ax+b)\cdot x^2\) |
| \(y'' - 4y' + 3y = x \color{red}{e^{3 x}}\) | \(1,3\) | \(C_1\color{blue}{e^{x}} + C_2\color{blue}{e^{3 x}}\) | \(\color{red}{e^{3 x}} (ax+b)\cdot x^1\) |
