高阶线性微分方程

区别于初等积分法用积分找解。实际上n>=2就算高阶了

就拿二阶举例子吧

$$y^{″}+p{y}^{\prime }+qy=f(x)$$

pq是函数，那么就是变系数。有f(x)是非齐次

高等数学的语境里，高阶只包含了常系数

常系数高阶线性微分方程

解的结构

两个解，比值不是常数，就叫成了线性无关的解，实际上有线性代数的影子。

解的结构实际上也和线性代数方程组的解的结构很相似。也是齐通+非齐特

更一般的

$$y^{(n)}+a_{n-1}{y}^{(n-1)}+\cdots +a_1\dot{y}+a_{0}y=f(x)$$

和对应的齐次线性方程

$$y^{(n)}+a_{n-1}{y}^{(n-1)}+\cdots +a_1\dot{y}+a_{0}y=0$$

借助微分方程组的结论，上面这个齐次方程等价于

$$\frac{dx}{dt}=Ax$$ $$\mathit{A}=\left[\begin{array}{ccccc}0& 1& 0& \cdots & 0\\ 0& 0& 1& \cdots & 0\\ ⋮& ⋮& ⋮& & ⋮\\ 0& 0& 0& \cdots & 1\\ -a_0& -a_1& -a_2& \cdots & -a_{n-1}\end{array}\right]$$

这时候就可以有这个矩阵的特征行列式和特征方程了，虽然是通过这个矩阵定义出来的，但是这个特征方程也被叫做了微分方程的特征方程，解叫作特征根。

特征根对应的模态就是齐次方程组的解，一堆模态搞起来作为基本解组。（说的太含糊了）

有复数根的基本解组使用EUler公式处理。有重根….

很严谨，但是搞复杂了。

还是拿二阶举例子，用有代表性的二阶研究，这里pq是常数。

$$y^{″}+p{y}^{\prime }+qy=0$$

很明显满足这个式子的是指数函数。

特征式${\lambda }^2+p\lambda +q=0$

解出来就是e上面的指数。

• 两个不同根，就是两个模态的线性组合

$$y=C_1{e}^{{\lambda }_{1}x}+C_2{e}^{{\lambda }_{2}x}$$

• 二重根，模态就线性相关了，$x{e}^{\lambda x}$也是个解，而且无关

$$y=(C_1+C_{2}x)e^{\lambda x}$$

• 共轭复根${\lambda }_{1,2}=\alpha \pm \beta i$

$$y=e^{\alpha x}(C_1\cos \beta x+C_2\sin \beta x)$$

非齐次的问题，找特解。

特解是设出来的。。很痛苦

$$y^{″}+p{y}^{\prime }+qy=P_n(x)e^{\alpha x}$$

当自由项是$P_n(x)e^{\alpha x}$，设特解为$e^{\alpha x}{Q}_n(x)\cdot x^k$，其中$Q_n(x)$为待定系数的同阶多项式，k取值0、1、2，

$y^{″}+p{y}^{\prime }+qy=P_n(x)e^{\alpha x}$	特征根	通解	特解
$y^{″}-4y^{\prime }+4y=3x{e}^{2x}$	$2,2$	$(C_1+C_{2}x)e^{2x}$	$e^{2x}(ax+b)\cdot x^2$
$y^{″}-4y^{\prime }+3y=x{e}^{3x}$	$1,3$	$C_1{e}^x+C_2{e}^{3x}$	$e^{3x}(ax+b)\cdot x^1$

• 更痛苦的，当自由项出现了三角函数了

$$y^{″}+p{y}^{\prime }+qy=[P_m(x)\cos \beta x+P_n(x)\sin \beta x]e^{\alpha x}$$

设特解为$e^{\alpha x}[Q_l^{(1)}(x)\cos \beta x+Q_l^{(1)}(x)\sin \beta x]\cdot x^k$，其中$Q_l(x)$为待定系数的同阶多项式，取mn的最大值，k取值0、1，

$y^{″}+p{y}^{\prime }+qy=[P_m(x)\cos \beta x+P_n(x)\sin \beta x]e^{\alpha x}$	特征根	通解	特解
$y^{″}-4y^{\prime }+4y=e^{2x}\cos \beta x$	$2,2$	$(C_1+C_{2}x)e^{2x}$	$e^{2x}(ax+b)\cdot x^2$
$y^{″}-4y^{\prime }+3y=x{e}^{3x}$	$1,3$	$C_1{e}^x+C_2{e}^{3x}$	$e^{3x}(ax+b)\cdot x^1$