稳定性

运动稳定性

考虑系统 \(\dot{x} = f(x,t)\)

初态不同，运动不同。一个运动为

\[g(t) = x(t ; x_0, t_0)\]

如果初态有一些小扰动变成了 \(\widetilde{x}\)，由此确定的性的运动 \(x(t ; \widetilde{x}_0, t_0)\) 就是被扰运动。

Lyapunov意义下的稳定性：

只要 \(\Vert \widetilde{x}_0 - x_0 \Vert < \delta\)，那么 \(\Vert x(t) - g(t) \Vert < \varepsilon, t \ge t_0\)。

补充

存在干扰，初态偏差，经过一定时间后，偏差下的运动不会离无偏差运动太远。

渐近稳定：如果给定运动在李雅普诺夫意义下是稳定的，还有 \(\lim_{t \to \infty } \Vert x(t) - g(t) \Vert = 0\) ，则称为渐进稳定。

补充

时间充分大，扰动运动能充分靠近原运动。

这里的运动，为状态空间的运动轨线。理解为物理系统的运动应该也没啥问题，比如转台变量如果选了位置、速度等物理量以后，这些物理量也会充分靠近原运动。

那么不稳定也很好定义了，总能找到一个时刻，使得两个运动大于给定值。

平衡状态：对于系统 \(\dot{x} = f(x,t)\)，满足 \(\dot{x} = 0\) 的点为系统的平衡状态，也即解 \(x(t) = x_e\)

平衡状态满足 \(f(x_e,t) = 0\)

运动的扰动方程。

考虑

前面建立起来的稳定性称为Lyapunov意义下稳定，渐近稳定和不稳定，只是为了叙述方便，省去了"Lyapunov意义下"的字样。这种稳定性有以下特点:

一致稳定：给定系统 \(\dot{x} = f(x,t), \quad f(0,t) = 0\)，使得 \(\Vert x_0 \Vert < \delta\) 时，有 \(\Vert x_(t) \Vert < \varepsilon\)。称为原点一致稳定性。

等度渐近稳定：

间接法，级数展开考虑稳定性

直接法或V函数法

线性系统的稳定性我们会去单独研究。毕竟是"线性系统理论"。

一个线性定常系统为

\[\dot{x} = Ax\]

其中 \(x = \in \mathbb{R}^n\)，取 \(V\) 函数为二次型

\[V(x) = x^T P x\]

其中 \(P\) 为对称矩阵，那么

\[\dot{V} = \dot{x}^T P X + x^T P \dot{x} = x^T ( A^T P + P A )x\]

记作

\[\dot{V} = W(x) = -x^T Q x\]

其中 \(A^TP + PA = -Q\) 称为 Lyapunov方程。

如果系统渐进稳定，那么对于 \(Q>0\)，此方程都有正定解 \(P\)。

定理：如果线性系统是渐进稳定的，对于任意给定的正定阵 \(Q\)，Lyapunov方程都有唯一正定解 \(P\)。

此解是对称矩阵，即 \(P^T = P\)

线性定常系统渐进稳定的充要条件是 \(A\) 的特征值都有负实部。