抽象向量空间

本科有门课叫信号与系统，主要内容是线性时不变系统（LTI）分析。此外对于这个LTI系统，另外一门课自动控制原理有另一种分析方式。那么线性代数中的线性与线性系统的线性都是线性，联系在哪里呢？我学的时候思考过这个问题，但是由于当时线性代数没学懂，不明白啥关系。这里重新理解一下。

现代控制理论里面有个东西叫状态空间，甚至还有个状态轨迹，这是个相当抽象的东西，这个轨迹感觉起来像是在二维平面画函数图像一样，但是状态空间往往是超过三维的。

除了状态空间，微积分里的求导运算也是线性的，可以类比出个多项式空间，基为 $x^{n} (n \in N)$ ，这样函数就有了向量特征。求导也是一种向量变换，某个矩阵将一个函向量数变成另一个函数向量。任一函数都可以在多项式空间用坐标表示出来，这就是泰勒展开幂级数。

比如对于函数 $\frac{d}{d x} (1 x^{3} + 5 x^{2} + 4 x + 5) = 3 x^{2} + 10 x + 4$ 的求导

[\begin{matrix} 0 & 1 & 0 & 0 & \dots \\ 0 & 0 & 2 & 0 & \dots \\ 0 & 0 & 0 & 3 & \dots \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \dots \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋱ \end{matrix}] [\begin{matrix} 5 \\ 4 \\ 5 \\ 1 \\ ⋮ \end{matrix}] = [\begin{matrix} 1 \times 4 \\ 2 \times 5 \\ 3 \times 1 \\ 0 \\ ⋮ \end{matrix}]

又是类和对象的感觉。普适性的概念，特殊化到某个地方。应用数学会提出各种奇怪的空间，不过没关系，他们只要满足八条公理，那就直接就能调用线性代数中的各种理论了。所以教科书一上来就很严谨的定义了线性而不是画出来向量。

数学哲学，以及计算机思维。抽象。

抽象总是难以思考的，普适的代价是抽象，教科书普适结论，当时学习过程可以具体化到图形变换，先理解了，对学习有大用。

线性系统的前提