列空间零空间

什么是向量空间？其实就是一些向量，对一些运算封闭。加法和数乘结果都在空间内。

一些例子。最简单的向量空间，三维空间，\(\mathbb{R}^3\) 很直观，因为我们就生活在其中。

我们也要看看子空间。最简单的例子，三维空间过原点的一个平面或者直线。

两个子空间，取并集，是什么呢？一个平面P，一个直线L，这两个都是子空。并集是把平面内所有的向量和直线上的所有向量放到一起。显然不是，因为加法不封闭。

然后考虑交集，PL的交集是原点，这到确实是个子空间。

如果推广到任意两个子空间呢？任意两个子空间的交集，是子空间。这里是想强调子空间的性质：运算封闭。

列空间

矩阵的列空间。Column space。矩阵的列可以看作向量，

比如一个矩阵

\[A = \left [ \begin{array}{} 1 & 1 & 2 \\ 2 & 1 & 3 \\ 3 & 1 & 4 \\ 4 & 1 & 5 \end{array} \right ]\]

各列都是属于 \(\mathbb{R}^4\) 的列向量，考虑列空间是个 \(\mathbb{R}^4\) 的子空间，记作 \(C(A)\)，那么这个子空间里有什么？显然仅仅三个单独的列向量是不够的。三个向量要线性组合，才能成为一个空间。

所以列空间是所有列向量可能的线性组合构成的空间。

列空间显然不是整个 \(\mathbb{R}^4\) 空间，这个空间要小一些，但是具体小多少还真不好回答。这里又要联系回去代数上的方程组 \(Ax = b\)

等价问题，是否有解的问题，4个未知数只有三个方程组。

什么样的 b 让方程组有解呢？？

什么样的 b 是这三个列向量的线性组合呢？

显然 b 要在这三个列向量所有可能的线性组合里。

所有当 b 在 A 的列空间里时，有解。

我们还需要对列空间有更深刻的认识。(线性无关)是否每个列向量对生成的空间的都有贡献呢？

看起来这个矩阵不是的。

到这里，矩阵的列空间可以描述为 \(\mathbb{R}^4\) 空间中的二维子空间。

零空间

还是这个矩阵，零空间是另一种完全不同的空间。

零空间是方程 \(Ax = 0\) 的所有解。

一个最大的区别，解是一个三维向量，零空间是一个 \(\mathbb{R}^3\) 的子空间。

零空间是个直线。

为何列空间和零空间能被叫做空间？需要验证，这两个空间是子空间。

总结

两个特殊的子空间，构造子空间的方法。

几个向量线性组合得到子空间。也可以从一个方程组中让 X 满足特定的条件，都能得到子空间。