有限维向量空间

张成空间与线性无关

把一个向量组中的向量做标量乘法后相加，就是这个向量组的线性组合。

定义线性组合(linear combination)： \(V\) 中的一组向量 \(v_1, v_2, \cdots, v_m\) 的线性组合是指形如

\[a_1 v_1 + \cdots + a_n v_n\]

的向量，其中 \(a_1, \cdots ,a_n \in \mathbb{F}\)。

定义张成的空间：\(V\) 中的一组向量 \(v_1, \cdots, v_n\) 的所有线性组合构成的集合，记为 \(\text{span}(v_1, \cdots, v_n)\)

定义多项式

对于函数 \(p : \mathbb{F} \to \mathbb{F}\)

基

定义基：如果 \(V\) 中的一个向量组既线性无关又张成 \(V\) ，则称为 \(V\) 的基。

基非常有用， \(V\) 中的一个向量组是基，那么 \(V\) 中的任意一个向量都可以被唯一的写成这种形式：

\[v = a_1 v_1 + \cdots + a_n v_n\]

其中，\(a_1, \cdots, a_n \in \mathbb{F}\)。

向量空间的张成组不一定是基，张成组可能不是线性无关的，但是每个张成组都可以化简成一个基。

每个有限维向量空间都有基。在有限维向量空间中，每个线性无关的向量组都可以扩充成向量空间的基。

对于有限维空间 \(V\) 的一个子空间 \(U\) ，我们总是能找到另个一子空间 \(W\)，使得两个子空间的直和为 \(V\)，即 \(V = U \oplus W\)

维数

前面一直在讨论有限维，但是还没定义维数是什么。合理的定义应该保证 \(\mathbb{F}^n\) 的维数等于 \(n\)。注意到 \(\mathbb{F}^n\) 的标准基的长度(个数)为 \(n\) ： \(e_1,e_2,\cdots, e_n\)。我们可以尝试把维数定义为基向量的个数，但是一个有限维向量空间可能有不同的基，需要所有的基都有相同的个数。

基的个数不依赖基的选取。

正式定义维数，，有限维向量空间的任一组基里向量的个数。如果 \(V\) 是有限维的，则维数记为 \(\dim V\)。

若 \(U\) 是 \(V\) 的子空间，则 \(\dim U \le \dim V\)