线面积分、外微分、场论初步

数量场和矢量场

曲线积分

曲面积分

应用电磁学

我觉得高等数学里面曲线曲面积分都学到这份上了，不联系电磁场实在是可惜了。高数里的曲线曲面积分就只和电磁场差一步了，电磁场里面特有的分析方法可以不管他，但是这种数学物理充分结合的感觉，这种数学来源于要解决的问题的过程还是可以体会以下的。

麦克斯韦方程组

\[\begin{array}{} \left\{ \begin{align} \oint_l \vec H \cdot \vec{dl} &= \int_S \vec J \cdot \vec{dS} \tag{1}\\ \oint_l \vec E \cdot \vec{dl} &= - \int_S \frac{\partial \vec B}{\partial t} \cdot \vec{dS} \tag{2}\\ \oint_S \vec B \cdot \vec{dS} &= 0 \tag{3}\\ \oint_S \vec D \cdot \vec{dS} &= \int_V \rho dV \tag{4}\\ \end{align} \right. \end{array}\]

第四个式子

\[\vec D = \left(P,Q,R\right), \vec{dS} = (dydz,dxdz,dxdy)\]

在数学里面的表达

\[\int\kern{-8pt}\int_\Sigma \kern{-27mu} \bigcirc P\mathrm{d}y\mathrm{d}z + Q\mathrm{d}x\mathrm{d}z + R\mathrm{d}x\mathrm{d}y = \int\kern{-8pt}\int\kern{-8pt}\int_\Omega \left( \frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial z} \right) \mathrm{d}v\]

方向导数，

梯度、散度、旋度

曲线积分、曲面积分

我在本科学数学课的时候一直在想，曲线曲面积分、格林斯托克斯高斯公式这些东西是怎么被发现的，怎么会有人找出这种关系，思考归思考，最后靠做题也拿了个还可以分数。

我本科学的是电气工程及其自动化，有一门课叫《工程电磁场》，在这门课上我打开了新世界的大门，也充分的理解了什么叫数理不分家，我甚至感觉整个电磁场就是在讲线面积分（不成熟的想法，实际上积分只是研究电磁场的工具）

电磁场用到的工具还有向量和场论，这一部分和线性代数又有一些微妙的联系。

二重积分和三重积分

向量分析里的思路。

理想流体和矢量场是怎么扯上关系的？和复数又又撒谎关系？首先要理解两个核心思路:散度和宣读。

一开始按照导数的推广公式来学的话会失去很多乐趣。

但是如果往深入追究的话，会发现这个东西很有深度

向量场，空间每个点都有个向量。