概率分布和数字特征

首先有随机变量这个东西。

这部分东西，学来学去又学成运算技巧了。。。

一维随机变量及其分布

如果说前面的属于常识内容，这里开始使用函数与微积分工具去研究概率了。

分布函数和概率密度是描述概率性质的两个手段。有个基本概念和定义，就要去求概率分布了。这里有5个离散分布和3个连续分布

实际使用里，有个求混合分布的巧妙思想。

求出分布函数以后就可以用分布函数来算一段区间的概率了

这里实际上还是为了去数字用函数描述概率这个新东西，函数在一维随机变量里的应用。

熟悉了就可以甩开膀子搞二维的东西了，那里会更加深刻的理解两件事情之间的关系。

分布函数

分布律

概率密度函数

重要分布：

二项分布

泊松分布

超几何分布

均匀分布

指数分布

正态分布

联合分布函数

边缘分布函数

条件分布

由条件分布引出独立分布，再次加深这个独立分布的理解。

分布律

联合概率密度、边缘概率密度

二维均匀分布

二维正态分布

分布函数、概率密度、分布律，都能完整描述随机变量。

有时候也更关心随机变量的数字特征，这些常数在实际应用中还是很重要的。

数学期望、方差、相关系数、矩。

\[E(X) = \sum_{k=1}^n x_kp_k\] \[E(X) = \int_{-\infty}^{\infty} xf(x)dx\]

叫均值也可以。但是叫期望显得很专业。

讨论随机变量与均值的偏离程度

\[D(X) = E(X^2) - (EX)^2\]

原始公式来自于\(E( \mid X-EX \mid )\)，很直观的含义。但是绝对值运算不方便，就来个平方。

这是一个中间特征，最终目的是来算相关系数的。

\[\mathrm{Cov}(X,Y) = E(XY) - E(X)E(Y)\] \[\rho_{XY} = \frac{\mathrm{Cov}(X,Y)}{\sqrt{DX}\sqrt{DY}}\]

切比雪夫不等式

\[P(\mid X-EX \mid \ge \varepsilon) \le \frac{DX}{\varepsilon^2}\]

这个式子很清晰的讲了一件事：变量的值不会离开期望太远。