运动分析

• *5）熟练掌握状态转移矩阵的性质及求取方法，掌握线性定常系统状态方程求解方法；

这一章的名字起的挺好听。这一部分还是挺重要的，值得单独拿出来。没有涉及到控制的核心思想，但是是很重要的铺垫内容。

自由运动

对于一个没有输入的系统， \(\boldsymbol{\dot{x} = Ax}\) 表征了系统内部状态的变化，也可以叫自由运动。联系电路里的强迫响应和自由响应，大概就是这么个意思，只不过这里系统不再仅仅指电学系统了，所以响应用更广泛的词"运动"代替了。

下面分析无输入是个什么响应，状态是怎么变化的。数学上就是在解这个微分方程，解出来就知道状态变化情况了。

对于没有控制输入的状态方程（已知初值 \(\boldsymbol{x}(0)\) ）

\[\boldsymbol{\dot{x} = Ax}\]

进行拉普拉斯变换以后有

\[s\boldsymbol{X}(s) - \boldsymbol{x}(0)= \boldsymbol{AX}(s)\]

整理得

\[(s\boldsymbol{I-A})\boldsymbol{X}(s) = \boldsymbol{x}(0)\]

那么解为

\[\boldsymbol{x}(t) = \mathscr{L}^{-1}[(s\boldsymbol{I-A})^{-1}] \cdot \boldsymbol{x}(0)\]

对于标量方程，可以一眼看出 \(\dot{x} = ax\) 的解为 \(x(t) = e^{at}x(0)\) ，那么就让 \(\boldsymbol{\Phi}(t) = e^{\boldsymbol{A}t} = \mathscr{L}^{-1}[(s\boldsymbol{I-A})^{-1}]\) 。那么这个事情换个专业的说法，就是从 \(\boldsymbol{x}(0)\) 即0时刻的状态运动（变化、转移）到了 \(\boldsymbol{x}(t)\) ，自然这个东西起名成状态转移矩阵(state transition matrix)也很合理。

到这里，求解齐次微分方程的问题就转化成了状态转移矩阵的问题，后面会进一步研究这个矩阵。

上面那个看起来是类比搞出来的东西实际上没有那么随便。对于函数

\[\boldsymbol{x}(t) = \boldsymbol{b_{0}} + \boldsymbol{b_{1}}t + \boldsymbol{b_{2}}t_2^2 + \dots\]

带入状态方程有

\[\boldsymbol{\dot{x}}(t) = \boldsymbol{b_{1}} + 2\boldsymbol{b_{2}}t + 3\boldsymbol{b_{3}}t_2^2 + \dots = \boldsymbol{A}(\boldsymbol{b_{0}} + \boldsymbol{b_{1}}t + \boldsymbol{b_{2}}t_2^2 + \dots)\]

对比系数可以导出

\[\begin{array} {c} \boldsymbol{b_{1}} = \boldsymbol{A}\boldsymbol{b_{0}} \\ \boldsymbol{b_{2}} = \frac{1}{2!} \boldsymbol{A^2}\boldsymbol{b_{0}} \\ \boldsymbol{b_{3}} = \frac{1}{3!} \boldsymbol{A^3}\boldsymbol{b_{0}}\\ \vdots \end{array}\]

那么有 \(\boldsymbol{x}(t) = (\boldsymbol{I} + \boldsymbol{A}t + \frac{1}{2!}\boldsymbol{A^2}t^2 + \dots)\boldsymbol{x}(0)\)

这个展开式更像是\(e^{\boldsymbol{A}t}\)了，现在看起来这个定义不是看起来像而定义的，而是比较严谨的。

受控运动

系统在有输入的情况下状态运动的情况就是受控运动。在数学上的形式为非齐次状态方程，解出来也就知道系统在输入作用下状态的变化规律了。

\[\boldsymbol{\dot{x} = Ax +Bu}\]

进行拉普拉斯变换以后有

\[s\boldsymbol{X}(s) - \boldsymbol{x}(0)= \boldsymbol{AX}(s) + \boldsymbol{BU}(s)\]

整理得

\[(s\boldsymbol{I-A})\boldsymbol{X}(s) = \boldsymbol{x}(0) + \boldsymbol{BU}(s)\]

那么解为

\[\boldsymbol{x}(t) = \mathscr{L}^{-1}[(s\boldsymbol{I-A})^{-1}] \cdot \boldsymbol{x}(0) + \mathscr{L}^{-1}[(s\boldsymbol{I-A})^{-1}\boldsymbol{BU}(s)]\]

由这个啥卷积定理，能再往前来一步：

\[\boldsymbol{x}(t) = \boldsymbol{\Phi}(t)\boldsymbol{x}(0) + \int_{0}^{t} \boldsymbol{\Phi}(\tau)\boldsymbol{Bu}(t-\tau)d\tau\]

状态转移矩阵

前面说到状态转移矩阵，表达了从一个状态转移另一个状态，其实直接从矩阵的角度理解也是没问题的，一个向量在矩阵的作用下变换的另一个向量，但是基于这个工程背景，用转移这个词更适合，这就是工程的表现形式和数学的本质问题。这里属于是用抽象去理解具体了。

研究状态转移矩阵的性质，要时刻记得两个记号是代表了后面的一串式子

\[\boldsymbol{\Phi}(t) = e^{\boldsymbol{A}t} = \boldsymbol{I} + \boldsymbol{A}t + \frac{1}{2!}\boldsymbol{A^2}t^2 + \dots\]

通过上面这个式子知道

• \[\boldsymbol{\Phi}(0) = \boldsymbol{I}\]
• \[\boldsymbol{\dot{\Phi}}(t) = \boldsymbol{A\Phi}(t) = \boldsymbol{\Phi}(t)\boldsymbol{A}\]
• \[\boldsymbol{\Phi}(t_1 \pm t_2) = \boldsymbol{\Phi}(t_1) \boldsymbol{\Phi}(\pm t_2) = \boldsymbol{\Phi}(\pm t_2)\boldsymbol{\Phi}(t_1)\]
• \[\boldsymbol{\Phi^{-1}}(t) = \boldsymbol{\Phi}(-t)\]

证明\(\boldsymbol{\Phi}(t)\boldsymbol{\Phi}(-t) = \boldsymbol{\Phi}(t-t) = \boldsymbol{I}\)

• \[\boldsymbol{x}(t_2) = \boldsymbol{\Phi}(t_2 - t_1) \boldsymbol{x}(t_1)\]
• \[\boldsymbol{\Phi}(t_2 - t_0) = \boldsymbol{\Phi}(t_2 - t_1)\boldsymbol{\Phi}(t_1 - t_0)\]
• \[[\boldsymbol{\Phi}(t)]^k = \boldsymbol{\Phi}(kt)\]

这三个性质放到一起，看起来很花哨，可以从数学角度去理解。\(\boldsymbol{\Phi}\)是个首先是个矩阵，实际上还是用变换的角度去考虑了，只不过赋予了在控制系统里状态的实际意义。括号里的t看作普通矩阵的的下标也没啥问题，但是客观世界里是时间，至此，就可以很明显的感觉到状态空间这个抽象空间就线性空间的一个具体应用。

几个典型系统矩阵的状态转移矩阵

对角阵

\[\boldsymbol{A} = \left [ \begin{array} {c} \lambda_1 \\ & \lambda_2 \\ & & \ddots \\ & & & \lambda_n \\ \end{array} \right ]\] \[\boldsymbol{\Phi}(t) = e^{\boldsymbol{A}t} = \left [ \begin{array} {c} e^{\lambda_1t} \\ & e^{\lambda_2t} \\ & & \ddots \\ & & & e^{\lambda_nt} \\ \end{array} \right ]\]

约当型

\[\boldsymbol{J} = \left [ \begin{array} {c} \lambda & 1 \\ & \lambda & \ddots \\ & & \ddots & 1 \\ & & & \lambda \\ \end{array} \right ]\] \[\boldsymbol{\Phi}(t) = e^{\boldsymbol{A}t} = \left [ \begin{array} {c} e^{\lambda t} & te^{\lambda t} & \frac{t^2}{2}e^{\lambda t}& \cdots & \frac{t^{m-1}}{(m-1)!}e^{\lambda t} \\ 0 & e^{\lambda t} & te^{\lambda t} & \cdots & \frac{t^{m-2}}{(m-2)!}e^{\lambda t}\\ \vdots & \vdots & \vdots &\ddots & \vdots\\ 0 & 0 & 0 & \cdots & te^{\lambda t} \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & e^{\lambda t} \\ \end{array} \right ]\]

求出了状态转移矩阵，那么状态方程就有解了。