向量空间
线性代数研究有限维线性空间上的线性映射。
线性代数里如果既研究实数，也研究复数，会得到更统一好看的定义，也会有更深刻的理解。
复数域
复数使得我们可以对负数开方。所有复数的集合记为 \(\mathbb{C}\)，定义： \(\mathbb{C} = \{ a + b \text{i} : a,b \in \mathbb{R} \}\)
在复数集合上定义了加法和乘法：
\[\begin{aligned} (a + b \text{i}) + (c + d \text{i}) = (a + b) + (c + d) \text{i} \\ (a + b \text{i})(c + d \text{i}) = (ac - bd) + (ad + bc) \text{i} \\ \end{aligned}\]复数有一些算术性质，通过定义可以推导出来：
- 交换性：\(x + y = y + x\)
- 结合性：\((x + y) + z = x + (y + z)\)
- 单位元：\(x + 0 = 0\)，\(x1 = x\)
- 加法逆元：对于 \(x\)，存在 \(y\) 使得 \(x + y = 0\)
- 乘法逆元：对于 \(x\)，存在 \(y\) 使得 \(xy = 1\)
- 分配性：\(x(y + z) = xy + xz\)
定义一些符号：
- \(-x\)，作为 \(x\) 的逆元，有 \(x + (-x) = 0\)
- 减法：\(x - y = x + (-y)\)
- \(1/x\)：\(x (1/x) = 1\)
- 除法：\(x/y = x (1/y)\)
为了让结论更统一，用符号 \(\mathbb{F}\) 指代 \(\mathbb{R}\) 和 \(\mathbb{C}\) 。 \(\mathbb{F}\) 中的元素称为标量。
域(field)
多数教材里直接就出来了，并没有解释什么是域。
域是一个集合，带有加法和乘法运算，并满足上面的算术性质。因此这里为了解释什么是域，特意又把复数里的运算性质写了一遍，虽然这些性质看起来二年级小朋友都会。
所以，域是带有运算的集合，比如：
- 有理数集合连同通常的加法运算和乘法运算，即为域 \(\mathbb{Q}\)
- 实数集合连同通常的加法运算和乘法运算，即为域 \(\mathbb{R}\)
- 复数集合连同通常的加法运算和乘法运算，即为域 \(\mathbb{C}\)
- 集合 \(\{ 0,1 \}\)，规定 \(0 \cdot 1 = 0\)，\(1 + 1 = 1\)
找一个不是域的例子也很容易，比如说整数集合，对于 \(2\)，不存在整数逆元使得乘积为 \(1\)。
简言之，域是个集合，带有 \(+ - \times \div\) 四种运算。
如一个集合 \(Z_+ = \{ 0, 1, 2, \cdots \}\)，可以取出元素进行加法，乘法运算。
但是逆运算比如 \(1 - 5 = -4 \notin Z_+\)，这个集合就不完善，不能叫域。修补一下：
\[Z = \{ 0, 1, -1, 2, -2, \cdots \}\]这时候减法存在了，但是除法还有点小问题。
一个运算可逆，运算的封闭性。实际上运算的封闭性在数学上是恒重要的事情，运算系统一步步扩大，就是为了让运算畅通无阻，在整个数学史上，这也是推动数学发展的重要动力。
如有理数域 \(\mathbb{Q}\)，两个整数的比，四种运算都可以，有理数域。
古希腊的时候，毕达哥拉斯定理，出来个 \(\sqrt{2}\)，没道理。这是个哲学问题，居然有个数不能写成两个数的比值。
“万物皆数”，这个东西不能写成数，这个事情就是第一次数学危机。
集合 \(\mathbb{R}^2\) 为：\(\mathbb{R}^2 = \{ (x,y) : x,y \in \mathbb{R} \}\) 可以看作一个平面。
集合 \(\mathbb{R}^3\) 为：\(\mathbb{R}^3 = \{ (x,y,z) : x,y,z \in \mathbb{R} \}\) 可以看作通常的空间。
为了推广概念，需要引进新定义：
- 组(list)：长度为 \(n\) 的有序元素。
n元组，
符号 \(\mathbb{F}^n\)。
把 \(\mathbb{R}^n\) 想象成物理对象人类做不到，甚至都无法想象出 \(\mathbb{C}^n\) 的图像，但是，我们仍然可以进行代数运算，就像在 \(\mathbb{R}^2\) 或者 \(\mathbb{R}^3\) 中定义的那样。
定义 \(\mathbb{F}^n\) 中的加法：
\[(x_1 , \cdots , x_n ) + (y_1 , \cdots , y_n ) = (x_1 + y_1 , \cdots , x_n + y_n )\]为了简单，常用一个字母来表示 \(\mathbb{F}^n\) 中的组，如加法交换性 \(x+ y = y + x\)。注意这里已经和前面的复数里的那个不一样了。
基于这个定义，我们可以很容易验证 \(\mathbb{F}^n\) 中元素的加法交换性。
n 元组看作一个点，或者一个向量，都没有问题。我们画不出高维空间的图像，但是高维空间的元素也被严格定义过，我们也把他们叫做向量，不需要担心是否有物理意义。
接下来定义乘法，对应坐标的乘法没啥意义，线性代数更关心标量乘法，确切的说，定义 \(\mathbb{F}\) 中的元素与 \(\mathbb{F}^n\) 中的元素的乘法：
\[\lambda(x_1, \cdots, x_n) = (\lambda x_1, \cdots , \lambda x_n)\]运算是什么？
思考一下，运算又是什么？
向量空间
定义向量空间的动机：\(\mathbb{F}^n\) 上加上和标量乘法的的优秀性质。
带有加法和标量乘法的集合 \(V\) 就称为向量空间(还需要满足一些性质)。
向量空间里的元素称为向量或点。
由于向量空间的标量乘法依赖于 \(\mathbb{F}\) ，因此我们一般确切指明 \(V\) 是 \(\mathbb{F}\) 上的向量空间，而不简单的说 \(V\) 是向量空间。
子空间
考虑子空间，可以大量扩充向量空间的例子。
如果 \(V\) 的子集 \(U\) 也是向量空间，则称 \(U\) 是 \(V\) 的子空间。显然 \(U\) 也继承了 \(V\) 上定义的运算法则。
验证子空间的条件，满足下面三个条件：
- 加法单元元：\(0 \in U\)
- 加法封闭性：\(x,y\in U\) 则 \(x + y \in U\)
- 标量乘法封闭性：\(a\in \mathbb{F}\)，\(x\in U\) 则 \(ax \in U\)
举个例子，\(\mathbb{R}^3\) 中的子空间为 \(\mathbb{R}^3\) 里过远点的直线和平面。证明是子空间很容易，但是是否是唯一子空间呢？还需要更多数学工具。
子空间的和
研究向量空间时感兴趣的通常只是子空间，而不是任意子集。
直和
有限维向量空间
定义线性无关：
定义线性相关：
