线性系统与描述方法
- 线性系统(一些数学上的解释)
- 一些矩阵分析的概念，线性，映射
- 线性系统是可以用线性映射描述的系统
- 线性系统建模
- 传递函数描述线性系统的局限性，为什么要用状态空间
- 状态空间描述
- 状态是什么
- 状态空间方程
- 状态空间方程的四种规范型
- 状态空间描述不唯一，可以做变换(换基)
线性映射与线性系统
线性系统描述
经典控制理论使用传递函数来描述系统，只关注了系统输入和输出。在做了系统校正后，传递函数开起来是稳定的，有零极对消，。但是数学上很容易的事情实际系统做不到。
决定系统动态行为的是系统的特征值而不仅仅是极点，极点是传递函数分母的根，只是特征值的一部分。
特征值是系统固有性质的数量表型，振型，
因此，传递函数描述是不完善的，无法完整的刻画系统。这就需要状态空间描述
状态空间描述
状态与状态空间的理解
状态：完全决定系统当前动态行为的信息的集合。
线性系统的状态空间方程
状态空间方程的一般形式为
\[\begin{aligned} \dot{x}(t) & = A(t)x(t) + B(t)u(t), \qquad x(t_0) = x_0 \\ y(t) & = C(t) x(t) + D(t) u(t), \qquad t \ge0 \end{aligned} \tag{1}\]单变量定常系统的状态空间方程
\[\begin{aligned} \dot{x}(t) & = Ax(t) + b u(t), \qquad & x(t_0) = x_0 \\ y(t) & = c x(t), \qquad & t \ge 0 \end{aligned} \tag{2}\]这就是后面要研究的主要对象，常用三元组 \(\{ A, b, c \}\) 表示。
从系统的输入输出描述(微分方程)写出转台空间方程称为实现。一个物理系统可以有多种实现，因为实现时人为的，数学是人造的。因此，"系统的状态"实际上指的是"一种实现的状态"。
对定常系统的状态空间方程处理一下，取拉普拉斯变化，有
\[sX(s) - x(0_-) = A X(s) + b U(s)\] \[X(s) = (sI - A)^{-1} x(0_-) + (sI - A)^{-1} b U(s)\] \[Y(s) = c X(s)\]其中，\(sI - A\) 为实现的特征矩阵， \(\vert sI - A \vert\) 为特征多项式，记为
\[a(s) = s^n + a_1 s^{n-1} + \cdots + a_{n-1} s + a_n\]根为特征根(或特征值)，特征值决定了系统 \(\{ A, b, c \}\) 的自由响应( \(u = 0\) )的类型，所以特征值也称为特征频率、固有频率或振型。
一个系统可以有多种实现，但有相同的传递函数。
\[\begin{aligned} H(s) &= c (sI-A)^{-1} b \triangleq \frac{b(s)}{a(s)} \\ &= \frac{c (sI-A)^* b}{ \vert sI - A \vert} \end{aligned}\]特征值就是传递函数的极点。
关于经典与现代控制的联系：
更多关于不同实现里相同的东西。
一个直观想法，一个真实系统，是物质的，人的状态变量的选取，是主观的，我们对他的数学建模不管怎么建，都不会对真实物理系统有一点影响。
甚至我们可以认为这套数学的东西是人编出来的，😂。因此，不同的实现，不同的编发，但是都是描述同一个物理系统的，在这个观点下，一些证明感觉都很没有必要。比如一个系统的不同实现，能控能观性相同。那当然相同了，都是描述同一个系统的。
除了直观想法，我们也需要让编出来的数学自洽，除了特征值，还有 Markoff 参数，这个参数是相似不变量，即同一个系统的不同实现里不变的东西。虽然直指”同一个系统”这个东西了，但是这个也是人编出来的。😂。
状态空间方程的四种规范型
既然可以随便实现，那么就要约定好一些常用的，来研究控制中的问题。
再来写出一个系统，微分方程形式：
\[y^{(n)} + a_1 y^{(n-1)} + \cdots + a_n y = b_1 u^{(n-1)} + \cdots b_n u\]复习一些概念：
- 系统的输入-输出描述写出它的状态空间方程称为实现；
- 一个系统可以有很多不同的实现。但这些实现必定有相同的传递函数和相同的脉冲响应函数传递函数
下面讨论几种规范型。
控制器规范型
\[\left \{ \begin{aligned} \dot{x} & = A_c x + b_c u \\ y & = c_c x \end{aligned} \right .\] \[A_c = \left [ \begin{array}{} -a_1 & -a_2 & \cdots & -a_{n-1} & -a_n \\ 1 & 0 & \cdots & 0 & 0\\ 0 & 1 & \cdots & 0 & 0\\ \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 1 & 0\\ \end{array} \right ]\] \[b_c = \left [ \begin{array}{} 1 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \\ \end{array} \right ]\] \[c_c = \left [ \begin{array}{} b_1 & b_2 & \cdots & b_n \end{array} \right ]\]记熟练，单论考试来说，后面的可以基于这个形式变换得到。
能控性规范型
\[\left \{ \begin{aligned} \dot{x} & = A_{co} x + b_{co} u \\ y & = c_{co} x \end{aligned} \right .\] \[A_{co} = \left [ \begin{array}{} 0 & 0 & \cdots & 0 & -a_n \\ 1 & 0 & \cdots & 0 & -a_{n-1}\\ 0 & 1 & \cdots & 0 & -a_{n-2}\\ \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 1 & -a_1\\ \end{array} \right ]\] \[b_{co} = \left [ \begin{array}{} 1 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \\ \end{array} \right ]\] \[c_{co} = \left [ \begin{array}{} \beta_1 & \beta_2 & \cdots & \beta_n \end{array} \right ]\]其中
\[c_c = \left [ \begin{array}{} 1 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ a_1 & 1 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ a_2 & a_1 & 1 & \cdots & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \\ a_{n-2} & a_{n-3} & a_{n-4}& \cdots & 1 & 0 \\ a_{n-1} & a_{n-2} & a_{n-3} & \cdots & a_1 & 1 \\ \end{array} \right ] c_{co}\]其中 \(A_{co}\) 和 \(A_c\) 关于副对角线对称，\(b_{co} = b_c\)，\(c_c\) 可通过一个坐标变换的到 \(c_{co}\)
观测器规范型
\[\left \{ \begin{aligned} \dot{x} & = A_o x + b_o u \\ y & = c_o x \end{aligned} \right .\]观测器规范型和控制器规范型的关系：
\[A_o = A_c^T, \quad b_o = c_c^T, \quad c_c = b_c^T\]能观测性规范型
\[\left \{ \begin{aligned} \dot{x} & = A_{ob} x + b_{ob} u \\ y & = c_{ob} x \end{aligned} \right .\]能观测性规范型与能控性规范型的关系：
\[A_{ob} = A_{co}^T, \quad b_{ob} = c_{co}^T, \quad c_{ob} = b_{co}^T\]不同实现的关系
实现的相似。不同的实现描述的是同一个系统，因此不同的实现是有联系的。
一个状态空间方程
\[\left \{ \begin{aligned} \dot{x} & = A_o x + b_o u \\ y & = c_o x \end{aligned} \right .\]