1.3 子空间

定义子空间

设 \(V\) 是 \(\mathbb{F}\) 上的线性空间，\(W \subseteq V\) 是非空子集，若

• 对加法封闭 \(x + y \in W\)
• 对数乘封闭 \(kx \in W\)

称 \(W\) 为一个子空间。

注：子空间按 \(V\) 中有的运算法则构成线性空间。

把加法理解为映射的角度来讲，相当于映射在子几何上的限制。

一个经典的例子，不是子空间的子集合，二维平面。

例子，向量组生成的子空间及子空间的生成组。

又有点正话反说的意思，哲学就是这样，观念的问题。

向量组 \(\alpha_1 , \cdots , \alpha_n\) ，(啥也没说，没说是基，无关这些)

有个记号 \(\text{span} \{ \alpha_1 , \cdots , \alpha_n \}\) 为向量所有可能的线性组合。记作 \(W = \text{span} \{ \alpha_1 , \cdots , \alpha_n \}\) 是 \(V\) 的一个子空间。这个子空间是向量组生成的子空间。

证明一下。太容易了，懒得证了。

接下来，先有了子空间找生成组。

已知 \(W\) ，若有向量组 \(\alpha_1 , \cdots , \alpha_n\) 使 \(W = \text{span} \{ \alpha_1 , \cdots , \alpha_n \}\) 那么这就是生成组。

这个概念的作用：生成组提供了一种子空间的表现方式。(我们不可以把一个空间内的所有元素的列举出来)

极端重要的例子来了。

矩阵的核与像

矩阵 \(A \in \mathbb{F}^{ m \times n }\)

核(零空间) \(\{ x \vert x \in \mathbb{F}^n , Ax = 0 \} \subset \mathbb{F}^n\)

齐次方程的解集合是 \(\mathbb{F}^n\)一个子空间，称作 \(\ker{A}\)

像(列空间) \(\{ y \vert y \in \mathbb{F}^m , y = Ax \} \subset \mathbb{F}^m\)

另一个观点：像空间也是 A 的列向量组张成的子空间，所以也可以叫列空间。即

\[Ax = \left[ \begin{array}{} a_1 & \cdots & a_n \end{array} \right]\left[ \begin{array}{} x_1 \\ \vdots \\ x_n \end{array} \right]\]

定义子空间的交与和

设 \(U,W\) 是 \(V\) 的子空间

• 那么 \(\)