Fourier级数与Fourier积分

函数的正交

矢量的正交分解。

从线性代数中来，一个向量，怎么表示最有效。这个问题一般正常没啥事不会去思考的，因为我们目前表示的方法就是最有效的。即笛卡尔直角坐标系。

不妨从反面思考，一个向量怎么表示会让人觉得很不开心。那就是任意选两个无关向量。

一个函数或者说工程上的信号，各式各样，能不能按照向量的思想，放到一个坐标系里，用空间的角度取思考一个信号。

即把信号分解出来，研究分解出来的最小信号的性质，对于LTI系统来讲，信号的作用不就相当于分解出来信号作用的叠加。

向量正交：垂直，内积为0.

找一组信号的基，就可以把任意信号表示在这个基张成的空间里。

向量正交

\vec{a} \cdot \vec{b} = 0

推广到函数正交

\int_{t 1}^{t 2} f_{1} (t) f_{2} (t) d t = 0

即对应位置相乘在相加，求和为0，这里"无穷维"的感觉就来了。这两个函数在区间 $(t_{1}, t_{2})$ 上正交。

如果

\int_{t 1}^{t 2} f_{1} (t) f_{1} (t) d t = 1

有点单位向量的感觉了。

一个三角函数集

{\cos (n ω t), \sin (n ω t)}, n = 1, 2, \dots

就是一个挺好的完备正交函数集。

这里就可以提出函数空间的概念了，就只能靠想象了，这是抽象空间。每个函数就是一个基。那么一个任意一个函数就可以用基和坐标的形式来表示了。

f (t) = \sum_{n = 0}^{\infty} [a_{i} \cos (n ω t) + b_{i} \sin (n ω t)]

f (t) = [\begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & \dots \\ 0 & \cos (ω t) & 0 & 0 & 0 & \dots \\ 0 & 0 & \sin (ω t) & 0 & 0 & \dots \\ 0 & 0 & 0 & \cos (2 ω t) & 0 & \dots \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \sin (2 ω t) & \dots \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \end{matrix}] [\begin{matrix} a_{0} \\ a_{1} \\ b_{1} \\ a_{2} \\ b_{2} \\ ⋮ \end{matrix}] = A_{n} t

写成一个无穷维矩阵就有空间的感觉了，这是个极其重要的思路。

$A_{n} t$ 这个顺序是知道了三角函数空间的坐标求函数。

但是更一般的问题是知道了函数去求在三角函数空间的各个坐标分量，也就是求傅里叶级数的系数。

一个周期信号 $f (t)$ ，周期为T，满足狄里赫利条件时，可以展开为傅里叶级数。

f (t) = \sum_{n = 0}^{\infty} (a_{i} \cos n ω t + b_{i} \sin n ω t)

到这里我们知道可以展开，并且展开的形式时知道的，但是不知道系数，该怎么搞呢。

用向量的思路取理解更容易

\vec{x} = a \cdot \vec{i} + b \cdot \vec{j}

\vec{x} \cdot \vec{i} = a \cdot {\vec{i}}^{2} = a \cdot ∣ \vec{i} ∣^{2}

那么

a = \frac{\vec{x} \cdot \vec{i}}{∣ \vec{i} ∣^{2}}

那么三角函数空间中基对应的坐标值为

a_{n} = \frac{\int_{- \frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} f (t) \cdot \cos n ω t d t}{\int_{- \frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} \cos^{2} n ω t d t}

\int_{- \frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} \cos^{2} n ω t d t = \frac{T}{2}

思路大概就是这么个思路，有限维空间点积用求和算，无限维用积分算， $(- \frac{T}{2}, \frac{T}{2})$ 不一定要在这个区间，反正一整个周期就行。

理解了这个事情，公式忘了现推都可以。

然后再稍稍整合一下

f (t) = \frac{a_{0}}{2} + \sum_{n = 1}^{\infty} A_{n} \cos (n ω t + φ_{n})

也就是说一个周期信号可以分解成直流和余弦分量。

再来看下函数性质和系数的关系

偶函数，展开式不含正弦项

奇函数，展开式不含余弦项