本征值、本征向量、不变子空间
从现在开始，研究有限维向量空间到其自身的映射。对这种线性映射的研究构成了线性代数最重要的部分。
这里也总使用如下约定
- 记号 \(\mathbb{F}\) 表示 \(\mathbb{R}\) 或 \(\mathbb{C}\)
- 记号 \(V\) 表示 \(\mathbb{F}\) 上的向量空间
不变子空间
特征向量与上三角矩阵
算子理论比线性映射理论更丰富，因为算子能自乘为幂。因此这里会有一部分多项式的东西，先讨论算子的幂。
前面讨论的是从一个向量空间到另一个向量空间的线性映射的矩阵，这个矩阵依赖于两个向量空间的基的选取。这里研究向量空间映射到其自身的算子，要强调的是使用同一个基。
线性代数的一个目标就是证明对于给定的算子 \(T \in \mathcal{L}(V)\) 必定存在 \(V\) 的一个基使得 \(T\) 关于该基有一个相当简单的矩阵。简单的含义是要选择 \(V\) 的基使 \(\mathcal{M}(T)\) 有很多的 \(0\)。
在 \(\mathcal{C}\) 上，每个算子均有上三角矩阵。
