泛函分析

泛函分析从哪来的？

从数学分析、线性代数的问题到泛函分析

泛函分析的目的，了解一些空间理论，和线性算子理论，在新的观点或者说高的观点上看待数学分析和代数的问题。学会把分析中的具体问题抽象到一种更加纯粹的代数、或者是拓扑上的问题来进行研究。这种要求还是比较高的。

综合运用分析、代数、几何的方法来处理问题。

这些能力可以为近代数学、物理、应用数学的学习打基础。

下面从一些代数、分析、微分方程的例子开始讨论。最基本的想法，从具体问题中抽象出泛函分析的问题。从问题中抽象出泛函分析的一些基本概念和理论，使用类比、联想的方法，从具体问题中归纳出基本的数学思想方法，然后去解决未知的问题。

在一些看起来没啥联系的东西里找出相似的东西。泛函分析就是从这些类似的东西里找一般的，属于本质的东西，抽象并进行统一处理。

从实例才能感悟数学，学会发现问题解决问题的思想方法。

从具体到抽象，数学分析、线性代数还是比较具体的。

1.1 泛函分析的研究对象和方法

数学研究的基本问题

数学研究的问题，大的问题分两类，一个是函数，一个是运算。

泛函分析研究的方法，20世纪初的变分法、微分方程、积分方程、函数论、量子物理的研究中发展起来的一个数学分支。综合了分析、代数、几何的观点来研究无穷维空间上的函数、算子和极限理论，处理和解决数学研究中最关心的问题。

线性代数里研究的运算是有限维。解析几何里考虑的二维三维。这里考虑的是无穷维。

泛函分析把古典分析的基本概念和方法一般化了，而且还把这些概念几何化了。有了几何特征，想起来会直观一点真要是直接抽象，那根本没法理解。

笛卡尔坐标系，解析几何。人们把代数问题几何化，几何问题代数化，初等数学的许多问题就有了新的研究方法。

比如：圆和圆的方程，直线与圆的交点，方程解的问题。

xy不同选值，对应于平面上点的运动。

把解析几何这种解决问题的方式，类比的推广。

首先建立一个新的空间框架，

空间中的元素：函数 \(f(x)\)