矩阵分析
课程内容
线性空间与线性映射。
线性空间的抽象定义，是个集合，这个集合上有加法，数乘，并且满足通常的运算规则。
- 标准向量空间，数组
- 几何空间，有向线段作为元素
- 函数空间，函数作为元素
线性空间与线性映射研究抽象的线性相关性理论，首先要熟悉线性代数的基础知识。一个向量组线性无关、线性相关，以及一个向量组由另一个向量组线性表示，然后立即把这个概念用抽象线性方程组的语言来表示。然后建立关于向量组的秩和极大线性无关组的理论。在此基础上，引入线性空间的维数和基的概念。然后子空间，交与并，向量组张成的子空间。线性映射与线性变换，核心概念，线性映射的矩阵表示，用坐标来计算线性映射。用线性映射的矩阵表示理论来研究矩阵的等价与相似，矩阵的等价相当于换基底。还有相似，相似是线性变换，出口基和入口基一样。
Jordan标准型。多项式矩阵，单位模阵，多项式矩阵的初等变换，Simith标准型，行列式因子，不变因子，初等因子。然后建立一个桥梁：矩阵的相似和多项式矩阵的等价。通过研究特征矩阵的simth标准型，就可以设计出一个简单的所谓标准型，每个初等因子，我们设计jordan块，建立起Jordan标准型的理论。
内积，在抽象线性空间内，定义了二元函数。给两个向量算出一个数来，对称线性正定。内积在数学上的性质非常好，只要知道两个向量组的交叉内积，就可以知道向量组张成的子空间中任意两个向量的内积，gram矩阵。有了内积的前提，可以定义长度，夹角（实数），而且符合勾股定理，这里面有个核心推理：柯西-不等式。在几何空间，长度夹角是本源，内积是推理概念。为了把推理方法模拟到更复杂的空间，先研究内积，然后把长度内积作为导出概念。有了勾股定理可以用几何方法来解决最优逼近问题，用投影。把一个向量像子空间投影，就是找一个向量距离最近。然后讨论标准正交基，非标准可以schmidt方法，好处是沿着标准正交基展开求系数的时候是解耦的(其矩阵表达为QR分解)。标准正交基非常好，所以要看看前面的概念在标准正交基下，是什么样子，具体化。酉矩阵(标准正交基对应的基矩阵，变换保长度，保夹角)，正交矩阵。什么时候一个矩阵可以用标准正交基相似于对角阵，正规矩阵。其中一个特例重点讲了Hermite矩阵，用酉矩阵化成对角线，且一定是实数，所以建立了正定矩阵的概念。Hermite矩阵，还建立起奇异值分解的概念。
最后向量与矩阵范数，有了范数可以定义矩阵的极限，有了极限可以定义微分、积分，分析学的概念可以模拟过来了。矩阵微积分。
参考资料
介绍
线性空间并不只是我们生活的三维空间，但是我们可以从三维空间去类比理解。用直观理解抽象，然后再用抽象去理解万物，同时深化对抽象本质的理解。
应用数学用来解决实际问题，线性空间建立的过程就是把实际问题数学化的过程。把具体的抽象成数学的，然后用数学的方法来解决。
尽管已经学过了线性代数，研究过线性系统了。但是"线性"的深层次含义，需要从一个更高的视角，来思考什么是运算。为了研究运算，又不得不看看运算的对象(或者叫元素)，这就来到了集合的性质上。集合被称为了空间，性质比较好的集合叫做了域。
一个一般的集合，如果有比较好的运算性质，那么就看作是一个线性空间。
有了线性空间，和空间里的元素(向量)，由此引出组合、相关、无关的问题，度量空间的能力。再然后，空间的维数，为了去确定一个元素，需要和其他元素(基)做对比。
线性空间的建立，是为了揭示表面上毫不相关的东西背后的逻辑结构。数学的威力就在于此。
比如平面几何代数化。几何我们看得到，数学运算和几何毫不相关，但是可以用解析法搞一些东西。
几何空间还是可以想象到的，如果来个函数空间，用几何的方法解决这个抽象空间的问题，这是数学的另一种思考方式。
直观抽象化，抽象直观化，这两个事情来回倒腾，互相帮助理解。
线性空间的引入，把熟悉的几何空间的方法抽象到一般的线性空间框架下。解析几何的核心是建立坐标系，把几何量变为代数量，现在需要把这个思想也迁移到抽象空间，去建立抽象空间的坐标系。
坐标系的选择是有条件的，由此需要线性相关、向量组的表示、一系列问题需要解决。
解决了谁可以当坐标系的问题，就可以在线性空间里搞一个基，顺其自然也就有坐标了。
\[[抽象向量] = [基矩阵][坐标]\]在选择基的问题上，我们还致力于寻找"最简单"的表示。同一个变换在不同的基选择下有不同的举证表示，这就是矩阵相似的来源。最简表示问题就变成了数学上的随意一个矩阵，是否可以对对角化的问题，如果无法对角化，那么最简单的相似形式是Jordan标准形。
完全用几何的观点也可以发展出Jordan标准形，但是这里选择了另一条路，从多项式出发，研究Jordan标准形。
定义定理
线性空间是定义在集合上的，有加法和数乘两种运算，因此还需要一个数域，满足八条性质。此时称为集合 \(\mathbf{V}\) 是数域 \(\mathbb{F}\) 上的线性空间。
线性空间是个集合，这个集合里的元素叫做向量，这里讨论向量的线性组合和相关性，虽然形似线性代数的概念，但是要注意这里已经是抽象向量了，我们在把集合中的向量的东西模拟到一个抽象空间里。
有了向量的概念，集合空间中的一些其他概念也可以模拟到抽象空间里了。
